1、考点规范练8幂函数一、基础巩固1.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)的单调递增区间为()A.(-,+)B.(-,0C.0,+)D.(1,+)答案:C解析:设f(x)=x,由图象经过点(4,2),得4=2,即22=2,得=12,所以f(x)=x12,单调递增区间为0,+).2.下面四个幂函数的图象中,是函数y=x-23的图象的是()答案:B解析:由幂函数的性质可知,函数y=x-23的图象在区间(0,+)内单调递减,则AC错误;令f(x)=x-23=1x213,x(-,0)(0,+),因为f(-x)=1(-x)213=1x213=f(x),所以函数y=x-23为偶函数,则D错误.
2、3.已知幂函数f(x)=x3m-7(mN)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,则m的值为()A.-1B.0C.1D.2答案:C解析:由题意可得,3m-70,解得m73,且3m-7为偶数,mN,故m=1.4.若a0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a5a0.5aB.5a0.5a5-aC.0.5a5-a5aD.5a5-a0.5a答案:B解析:由于5-a=15a.因为a0,所以函数y=xa在区间(0,+)内单调递减.又150.55,所以5a0.5a5-a.5.如图,函数y=1x,y=x的图象和直线y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:.若幂函数f(x)的图象经
3、过的部分是,则f(x)可能是()A.f(x)=x2B.f(x)=1xC.f(x)=x12D.f(x)=x-2答案:B解析:由图象知,幂函数f(x)的定义域为(0,+).当0x1,且f(x)1时,0f(x)1x;所以f(x)可能是f(x)=1x.6.(2021福建厦门双十中学高三月考)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3,当a=2,x-2,3时,函数f(x)的值域为;若函数f(x)在区间-1,3上单调递增,则实数a的取值范围是.答案:-214,15a32解析:(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,其图象的对称轴为直线x=-32-2,3,故f(x)max=f(3)=15,f(x)min
4、=f-32=-214,故函数f(x)的值域为-214,15.(2)因为函数f(x)在区间-1,3上单调递增,所以-2a-12-1,故a32.7.(2021江苏常熟中学三模)已知函数f(x)同时满足:f(0)=0;在区间1,3上单调递减;f(1+x)=f(1-x).该函数的表达式可以是f(x)=.答案:2x-x2(答案不唯一)解析:由f(1+x)=f(1-x)可知,y=f(x)的图象关于直线x=1对称;可设f(x)为二次函数,又f(0)=0且f(x)在区间1,3上单调递减,所以可设f(x)=2x-x2,符合题意.二、综合应用8.已知f(x)=x3,若当x1,2时,f(x2-ax)+f(1-x)0
5、,则a的取值范围是()A.a1B.a1C.a32D.a32答案:C解析:f(-x)=-f(x),f(x)=3x20,f(x)在区间(-,+)内为奇函数且单调递增.由f(x2-ax)+f(1-x)0,得f(x2-ax)f(x-1),x2-axx-1,即x2-(a+1)x+10.设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有g(1)=1-a0,g(2)=3-2a0,解得a32.故选C.9.若x2x13成立,则x的取值范围是.答案:(-,0)(1,+)解析:如图所示,分别作出函数y=x2与y=x13的图象,由于两函数的图象都过点(1,1),由图象可知不等式x2x13的解集为(-,0)(1,+).10.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)0),f(x)是定义在区间(0,+)内的减函数.又f(a+1)0,10-2a0,a+110-2a,解得a-1,a3,3a0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,f(-3)=3a+1.可知f(2)f(-3),即f(x)max=f(2)=8a+1=4.故a=38.当a0,ab0,故a-b,f(a)f(-b)=-f(b),故f(a)+f(b)0.
