1、10.3成对数据的统计分析第十章2023高 中 总 复 习 优 化 设 计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI课标要求1.结合实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.2.结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二乘法原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法,会使用相关的统计软件.3.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测.4.通过实例,理解22列联表的统计意义,了解22列联表独立性检验及其应用.备考指导本节内容在高考选择题、填空题、解答题
2、中均有体现,难度中等.主要体现在一元线性回归模型的应用和独立性检验的应用.近几年高考中,尤其加强了这一部分内容.复习本节知识要加强数学运算、直观想象、数学建模的培养.鉴于新高考对于数学文化的加强,因此要强调本节知识在实际情境中的理解和应用.内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升第一环节 必备知识落实【知识筛查】1.变量的相关关系(1)相关关系:两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.(2)散点图:把成对样本数据用平面直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成的统计图叫做散点图.(3)正相关:如果从整
3、体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关.从散点图中看,满足正相关的点落在一条从左下角到右上角的直线附近.(4)负相关:如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,我们就称这两个变量负相关.从散点图中看,满足负相关的点落在一条从左上角到右下角的直线附近.(5)线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.2.样本相关系数(1)样本相关系数的公式(2)样本相关系数r的取值范围为-1,1.问题思考样本相关系数r是如何反映成对样本数据的线性相关程度的?(1)当
4、r0时,成对样本数据正相关;当r0,知x与y正相关,由样本相关系数r2=-0.956 80,知u与v负相关.又|r1|r2|,故变量u与v的线性相关性较强.解题心得1.根据样本数据画出散点图,由散点图可直观地判断两个变量是否具有相关关系.2.根据样本数据得到样本相关系数r,由r的正负可判断两个变量是正相关还是负相关;由|r|的大小可判断两个变量线性相关程度的强弱.对点训练1(1)对四组数据进行统计,获得的散点图如图所示,关于其样本相关系数的比较,正确的是()A.r2r40r3r1B.r4r20r1r3C.r4r20r3r1D.r2r40r10,r20,r4|r3|,|r2|r4|,故r2r40
5、r3r1.(2)某农户承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表:土地使用面积x/公顷12345管理时间y/月911142620求样本相关系数r的大小(精确到0.01),并判断管理时间y与土地使用面积x的线性相关程度.能力形成点2经验回归方程的求法及回归分析例2下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据:(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程(3)已知该厂技术改造前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的经验回归方
6、程,预测技术改造后,生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低了多少吨标准煤.解(1)由题设所给数据,可得散点图如图所示.(3)由(2)及题意可知降低的生产能耗约为90-(0.7100+0.35)=19.65(吨标准煤).解题心得求经验回归方程的三个步骤(1)利用散点图或样本相关系数r判断两个变量是否具有线性相关关系.(2)若存在线性相关关系,则求出回归系数.(3)写出经验回归方程.对点训练2一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验.测得的数据如下:(1)y与x是否具有线性相关关系?(2)如果y与x具有线性相关关系,求经验回归方程;(3)根据求出的经验回归
7、方程,预测加工200个零件所用的时间为多少?(结果保留整数)解(1)列出下表.能力形成点3独立性检验例3某小区采取一系列措施,宣传垃圾分类的知识与意义,并采购分类垃圾箱.为了解垃圾分类的效果,该小区物业随机抽取了200名居民进行问卷调查,每名居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意”的评价.根据调查结果统计并作出年龄分布条形图和持不满意态度的居民的结构比例图,如图所示.年龄分布条形图持不满意态度的居民的结构比例图在这200份问卷中,持满意态度的频率是0.65.(1)完成下面的22列联表,并依据小概率值=0.05的独立性检验,分析“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价
8、是否有差异;(2)按“51岁及以上”和“50岁及以下”的年龄段采取分层随机抽样的方法,从中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行电话回访,求电话回访的两名居民恰好一名年龄在51岁及以上,另一名年龄在50岁及以下的概率.附表及参考公式:解(1)根据题目所给数据,计算得到22列联表为零假设为H0:“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取措施的评价没有差异.根据列联表中的数据,计算得到根据小概率值=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取措施的评价有差异,此推断犯错误的概率不大于0.05.(2)依题意,随机抽取的5人中有2人年龄
9、在51岁及以上,有3人年龄在50岁及以下.故电话回访的两名居民恰好一名年龄在51岁及以上,另一名年龄在50岁及以下的概率为解题心得利用2进行独立性检验的步骤(1)列出22列联表.(2)提出零假设,并根据22列联表中的数据计算出2的值.(3)比较2的值与临界值的大小,并作出判断.对点训练3(2021全国,理17)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:机床产品质量合计一级品二级品甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分
10、别是多少?(2)依据小概率值=0.01的独立性检验,能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?第三环节 学科素养提升一元线性回归模型的拟合问题典例某地区2003年至2019年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图如图所示.为了预测该地区2022年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个一元线性回归模型.根据2003年至2019年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型:=-30.4+13.5t;根据2013年至2019年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值;(
11、2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解:(1)利用模型,可得该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值为 =-30.4+13.520=239.6(亿元).利用模型,可得该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.510=274(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下:()从折线图可以看出,2003年至2019年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2003年至2019年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2013年相对2012年的环境基础设施投资额有明显增加,2013年至2019年的
12、数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2013年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2013年至2019年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2013年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.()从计算结果看,相对于2019年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值239.6亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.(理由合理即可)解题心得建立一元线性回归模型分析问题时,注意排除数据中的极端值,否则建立的线性回归模型拟合效果差.对于已建立的多个一元线性回归模型,可利用样本相关系数r来判断模型的拟合效果,|r|越接近1,模型的拟合效果越好,从而选择拟合效果最好的模型对问题进行分析.
