1、必修第四册综合测试时间：120分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数z满足23izi(其中i是虚数单位)，则z的虚部为(B)A2B2C3D3解析：23izi，z32i，虚部为2，故选B.2在ABC中，a，b，A，则B(C)A. B.C.或 D.解析：因为，所以，所以sinB，又因为ba，所以BA，所以B或，故选C.3设m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题错误的是(D)A若m，n，则mnB若n，nm，则mC若m，m，则D若，m，则m解析：逐一考查所给的选项：由线面垂直的性
2、质定理推论可知：若m，n，则mn，选项A正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若n，nm，则m，选项B正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若m，m，则平面内存在直线l，满足lm，则l，然后利用面面垂直的判定定理可得，选项C正确；在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，取平面，分别为平面ABCD，ADD1A1，直线m为棱B1C1.满足，m，但是不满足m，选项D错误故选D.4复数z(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(B)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：zi，所以复数z所对应的点为(，)，它在第二象限，故选B.5已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且，则
3、(D)AA的最大值为 BA的最小值为CA的最大值为 DA的最小值为解析：由正弦定理得，化简得，由余弦定理得cosA，故A，故选D.6已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，所有棱长均为，P是底面ABC中心，则PA1与平面ABC所成角大小是(B)A. B.C. D.解析：连接AP，因为侧棱与底面垂直，所以A1PA即为PA1与平面ABC所成的角，因为P是底面A1B1C1中心，所以AP1，在RtAPA1中，tanAPA1，APA1，所以PA1与平面ABC所成角大小为.故选B.7设点P是一个正四面体内的任意一点，则点P到正四面体的各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于该四面体的(C)A棱长 B
4、斜高C高 D两对棱间的距离解析：设正四面体的棱长为a，P是正四面体内的一点，正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为m，n，p，q，棱长为a的正四面体的四个面的面积都是Saasin60a2.又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为asin60a，故底面中心到底面顶点的距离都是a.由此知顶点到底面的距离是 a.此正四面体的体积是a2aa3.a3a2(mnpq)，解得mnpqa.P到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于四面体的高故选C.8已知a，b，c分别是锐角ABC的内角A，B，C的对边，且b2,4c2(ac)a，则sinA2cosC的取
5、值范围是(A)A. B.C(0，) D(1,0)解析：由题意得：b2c2a2ac，即cosB.B，B.sinA2cosCsinA2cos(AB)sinA2cos(AB)sinA2cosAcosB2sinAsinBsinAcosAsinAcosA.ABC为锐角三角形，解得：A2S1(填“”“”或“”)解析：如图，设三棱锥ABCD的体积为V，因为F，G分别是AC，AD的中点，E在线段AB上，且AE2EB，所以SAGFSACD，设B到面ACD的距离为h，所以E到面ACD的距离为，所以V1V，V2，所以.因为SAEGSABC，所以2SAEGS四边形BCGE，同理2SAEFS四边形BDFE,2SAGFS
6、四边形CDFGS四边形CDFG，2SEFG2S1.16在ABC中，AB3，AC4，若ABC的面积为3，则BC边的长度为或.解析：由题意，在ABC中，AB3，AC4，且面积为3，所以ABACsinA34sinA3，解得sinA.又因为A(0，)，所以A或A.当A时，cosA，由余弦定理，可得BC；当A时，cosA，由余弦定理，可得BC.综上，BC边的长度为或.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10分)设复数z(2m27m3)(m2m6)i，问当实数m取何值时：(1)z是纯虚数；(2)z对应的点在复平面的第四象限解：(1)因为复数z(2m27m3)(
7、m2m6)i是纯虚数，所以m.(2)因为z对应的点在复平面的第四象限，所以2m0且8(a2)0，解得2a6.即实数a的取值范围是(2,6)20(12分)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱BB1底面ABC，BB14，ABBC，且ABBC4，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AMBN.(1)求证：无论M在何处，总有B1CC1M；(2)求三棱锥BMNB1体积的最大值解：(1)证明：要证明无论M在何处，总有B1CC1M，只需证明B1C平面AC1B即可，BB1底面ABC，BB1AB，又ABBC，BCB1BB，AB平面BCC1B，B1CAB，由题知四边形BCC1B1为正方形，B1CBC1，又A
8、BBC1B，B1C平面AC1B，原命题得证(2)由三棱锥BMNB1的体积为：V三棱锥BMNB1V三棱锥B1BMN4BMBNBMBN2，当BMBN2时取等号，所以三棱锥BMNB1体积的最大值为.21(12分)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3b3acosCasinC，(1)求A的大小；(2)若a，求b2c2的取值范围解：(1)由题意，在锐角ABC中，满足3b3acosCasinC，根据正弦定理，可得3sinB3sinAcosCsinAsinC，解得tanA，又因为A(0，)，所以A.(2)由正弦定理，可得2，则b2sinB，c2sinC，所以b2c24(sin2Bsin
9、2C)2(2cos2Bcos2C)42cos2B2cos24cos2Bsin2B2sin4，又由可得B，2B.所以12sin2，即5b2c26，所以b2c2的取值范围(5,622(12分)如图1，在直角梯形ABCD中，ABDC，BAD90，AB4，AD2，DC3，点E在CD上，且DE2，将ADE沿AE折起，使得平面ADE平面ABCE(如图2)G为AE中点(1)求证：DG平面ABCE；(2)求四棱锥DABCE的体积；(3)在线段BD上是否存在点P，使得CP平面ADE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为G为AE中点，ADDE2，所以DGAE，因为平面ADE平面ABCE，平面ADE平面ABCEAE，DG平面ADE，所以DG平面ABCE.(2)在直角三角形ADE中，易求AE2，则DG，所以四棱锥DABCE的体积为VDABCE.(3)存在如图，过点C作CFAE交AB于点F，则AFFB13.过点F作FPAD交DB于点P，连接PC，则DPPB13.又因为CFAE，AE平面ADE，CF平面ADE，所以CF平面ADE，同理FP平面ADE.又因为CFPFF，所以平面CFP平面ADE，因为CP平面CFP，所以CP平面ADE，所以在BD上存在点P，使得CP平面ADE，且.
