1、如皋中学、丹阳中学、如东中学2021届高三12月份联考试卷数学试卷时长：120分钟 分值：150分一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在.每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的模为（ ）A.B.C.D.2.已知，则a，b，c从小到大依次为（ ）A.B.C.D.3.已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ）A.B.C.D.4.周髀算经中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地区立春与惊蛰两个节气的日影长分别为9尺和7尺，现在从该地日影长小于7尺的
2、节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概率为（ ）A.B.C.D.5.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 6.函数（，）在R上的部分图象如图所示，则的值为（ ）A.B.C.0D.7.已知偶函数的定义域为R，且是奇函数，下列说法正确的是（ ）A.函数为偶函数B.函数为偶函数C.函数是以2为周期的周期函数D.函数是以4为周期的周期函数8.棱长为6的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的体积为（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项
3、中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（ ）A.“”是“”的必要不充分条件；B.“”是”的充要条件；C.“，”是真命题；D.“，”的否定是：“，”10.已知双曲线的中心在原点，左焦点，右焦点均在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上.（ ）A.双曲线方程为B.的面积为6C.D.11.如图，正方体的棱长为1，E为的中点（ ）A.直线与直线是异面直线B.在直线上存在点F，使平面C.直线与平面所成角是D.点B到平面的距离是12.学校开展劳动实习课，某班将在如图的曲边梯形的场地中建矩形花圃，经建系测绘，收集到以下信息：，曲边可近似看作是函数
4、图象的一段，.现要求矩形花圃的顶点E，F，H分别落在边，边和曲边上，若H点的横坐标为x且，花圃的面积S与x的函数关系式记为.则（ ）A.在上单调递增B.在上先单调递增再单调递减C.在上存在最大值D.最大为21三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.已知随机变量X服从正态分布且，则_14.数列为等比数列，其前n项的乘积为，若，则_.15.在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的焦点为，准线为l，l与x轴交于点C，若点A在l上，点B为抛物线上第一象限内一点，直线与抛物线交于另一点D，是正三角形，且四边形的面积是，则_；的面积是_.（
5、本题第一空2分，第二空3分）16.如图，三棱锥中，.点Q在棱上且，则直线与平面所成的角是_.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等差数列满足，.等比数列各项均为正数且满足：，.（1）求数列和数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18.（12分）在，这三个条件中选两个能解决问题的条件，补充在下面的问题中，并解决该问题.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足.（1）求A的大小；（2）已知存在，且_，_，求的面积.19（12分）如图在四棱锥中，平面，四边形为梯形，E为侧棱上一点，且，.（1）证
6、明：平面.（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病，而今年出现的新型冠状病毒（COVID-19）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率
7、为p（）.现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”（1）若按方案一且，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；（2）若，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？（3）若
8、对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求P的取值范围.21.（12分）已知函数（），其中e为自然对数的底数，.是函数的极大值或极小值，则称为函数的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点.（1）函数在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断函数的极值点的个数，并说明理由；（3）当函数有两个不相等的极值点和时，证明：.22.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）过点，分别为椭圆C的左、右焦点且.（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l：（）交椭圆C于A，B两点，交轴于点M.点N是M关于O的对称点，的半径为.设D为的中点，与分别相切于点E，F，求的最小值.2021届
9、高三12月份联考试卷数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在.每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ABD11.【答案】BCD12.【答案】AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.【答案】0.414.【答案
10、】115.【答案】3；16.【答案】四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）；（2）两式相减得，所以.18.解：（1）因为.又由正弦定理，得，即，所以，因为，所以.（2）不能选和：若选条件和，在三角形中，因为由正弦定理得不成立，所以这样的锤子数学三角形不存在.只能选：和或和若选条件和，由余弦定理，得，则，所以所以所以的面积.若选条件和.由正弦定理，得.所以的面积.19.解：（1）证明：如图所示，连接交于点F，连接.四边形为梯形，且，即，在中，又平面，平面，平面（2）如图所示，以点A为坐标原点，以分别以、为x轴、y
11、轴和z轴建立锤子数学空间直角坐标系，则，所以，设和分别是平面和平面的法向量，则，得，令得，即，得，令得，即所以，故平面和平面所成角锐二面角的锤子数学余弦值为平面.20.解：（1）用X表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则由题意可知，（2）方案一：逐个检验，检验次数为4；方案二：混合在一起检测，记检测次数为X，则随机变量X的可能取值为1、5，所以，随机变量X的分布列如下表所示：X15P所以，方案二的锤子数学期望为方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测吹数为1次，其概率为；若呈阳性则检测次数为3次，其概率为.设方案三的检测次数为随机变量Y，则Y的可能取值为2、4、6，.所以，随机变量Y的分布列
12、如下表所示：X246P所以，方案三的期望为.比较可得故选择方案一最“优”；（3）方案二：记检测次数为X，则随机变量X的锤子数学可能取值为1、5，随机变量X的分布列如下表所示：X15P所以，随机变量X的数学期望为，由于“方案二”比“方案一”更“优”，则，可得，即，解得，故当时，方案二比方案一更“优”.21.解：（1）在上恒成立，恒成立；解得.（2），令，则当时，在上锤子数学单调递增又，于是在上有一个零点x0极小值于是函数的有1个极值点；当时，单调递增，于是函数没有极值点；当时，由得x0，当且仅当时，取“=”号，函数在上单调递增，于是函数没有极值点；当时，x0，又 于是，函数在和上各有一个零点，分别为，x00极大值极小值于是，函数的有2个极值点；综上：当时函数的有1个极值点；当时函数没有极值点；当时函数的锤子数学有2个极值点.（2）当函数有两个不相等的极值点和时，由（2）知且，令，由得x0非极值点即即，在单调递增即又，.22.解：（1）设，则，.，又在椭圆上，故，又，解得，故所求锤子数学方程为.（2）设，联立方程得，由，得（*）且，因此所以，又，所以，整理得：，因为，所以.令，故，所以.令，所以当时，从而在上单调递增，因此，等号当且仅当时成立，此时，所以，由（*）得且，故，设，则，所以的最小值为.从而的最小值为，此时直线/的斜率为0.综上所述：当，时，取得最小值为.
