1、昌平区2017年高三第二次统一练习数 学 试 卷（文 科）（满分150分，考试时间120分钟）2017.5第卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1. 设全集,集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】，故选B.2. 已知，若，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，故选D.3. 若实数满足则的最小值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出表示的可行域，得在直线与直线的交点，由图知，目标函数在处的最小值为，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题
2、.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 已知直线和平面，满足.则“”是“”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，由线面平行的判定定理可得，若，与，可以是异面直线，“”是“”的充分而不必要条件，故选A.5. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】执行程序框图，；，退出循环，输
3、出，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6. 给定函数，其中既是奇函数又在区间上是增函数的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】对于，即不是奇函数又不是偶函数，不合题意；对于，在递减，不合题意； 对于，是偶函数
4、，不合题意；对于 ，即是奇函数，又在上递增，合题意，故选D.7. 已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】恰有两个零点，等价于与有两个交点，同一坐标系，画出与的图象，直线过时，直线与，相切时，由图知，时，两图象有两交点，即的取值范围是，故选C.【方法点睛】根据 零点个数求参数 的常用方法： 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数 零点个数就是方程 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；数形结合法： 一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点
5、的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法.8. 已知圆的圆心为，过原点的直线与圆交于两点.若的面积为,则满足条件的直线有A. 2条 B. 4条 C. 8条 D. 无数条【答案】B【解析】设，的面积为，可得或，时，有条，时，有条，共条，故选B.第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. 设，若，则_ .【答案】【解析】,故答案为.10. 某校从高三年级中随机选取200名学生，将他们的一模数学成绩绘制成频率分布直方图（如图）. 由图中数据可知_ .若要从成绩在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参
6、加一项活动，则从成绩在内的学生中选取的人数应为_ .【答案】 (1). (2). 【解析】直方图中各个矩形的面积之和为，解得，由直方图可知，身高在范围内抽取的学生人数占三个区域内总人数的 ，故答案为 .11. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为_ . 【答案】【解析】由三视图可知，三棱锥直观图如图 ，图中为棱的中点，正四棱柱底面边长为，高为，由直观图知，最长棱长为，故答案为.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意
7、三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12. 双曲线的渐近线方程为_；若双曲线的右焦点恰是抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】，渐近线方程为，双曲线右焦点为，即，抛物线准线方程为，故答案为，.13. 某校高三年级5个班进行拔河比赛，每两个班都要比赛一场.到现在为止，1班已经比了4场，2班已经比了3场，3班已经比了2场，4班已经比了1场，则5班已经比了_场.【答案】 【解析】设、分别代表、班， 赛了场，则是和 、每人赛了场；由于只赛了场，则一定是找赛的；赛了场，是和、赛的；赛了场，是和、
8、赛的；所以此时赛了场，即是和、赛的，每班的比赛情况可以用如图表示：答：号已经比了场，即 班已经比了场，故答案为.14. 设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则_.【答案】【解析】一个对称中心横坐标为，一条对称轴方程为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15. 已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) 【解析】试题分析：()根据题意列出关于首项与公差的方程组，求出首项及公差，从而可得数列的通项公式；（）由()可得，利用等比数列求和公式可得结果.试题解析
9、：()设等差数列的首项为，公差为.依题意有即由，解得所以. （）所以.因为， 所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列. 所以. 16. 学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力.学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为三个等级，其统计结果如下表： 语言表达能力 文字组织能力 220 1 1 01 由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为.（）求，的值；（）从测试成绩均为或 的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率【答案】
10、(1) ；（2）.【解析】试题分析：()根据抽到语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为，可得，从而可得进而可得；（）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式及对立事件概率公式可求出至少有一位语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率.试题解析：()依题意可知：语言表达能力或文字组织能力为的学生共有人. 所以.所以. （）测试成绩均为或的学生共有7人，其中语言表达能力和文字组织能力均为的有2人，设为，其余5人设为则基本事件空间 .所以基本事件空间总数.选出的2人语言表达能力和文字组织能力均为B的有.所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为 【方法点睛】本题主要考查
11、古典概型概率公式及对立事件概率公式，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.17. 在中，的角平分线与边相交于点，且.()求的长及的值；（）求的长【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：()先根据余弦定理可得，再由正弦定理可得；（）先根据两角和的正弦公式可得，再根据正弦定理可得的长.试题解析：() 因为， 所以. 因为，所以 （）因为，所以 ， 因为 ，所以18. 在四棱锥中，为正三角形，平面平面，.（）求证：平面平面； （）求三棱锥的体积；（）在棱上是否
12、存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置并证明；若不存在，说明理由【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）存在，证明见解析.【解析】试题分析：()先证明，再根据面面垂直的性质定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（）先根据面面垂直的性质定理可得平面，再根据棱锥的体积公式可得结果；（）为的中点时，平面，根先证明平面平面，从而可得结果.试题解析：（）因为，所以.因为平面平面，平面平面 ，所以平面.因为平面,所以平面平面. （）取的中点,连结.因为为正三角形， 所以.因为平面平面，平面平面 ，所以平面，所以为三棱锥的高. 因为为正三角形，所以.所以 .（）在棱上存在点，当为的中点时，平面.
13、分别取的中点，连结.所以. 因为，所以.所以四边形为平行四边形.所以.因为,所以平面平面.因为平面，所以平面. 19. 已知椭圆经过点，点是椭圆上在第一象限的点，直线 交轴于点，直线交轴于点.（）求椭圆的标准方程和离心率；（）是否存在点，使得直线 与直线平行？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1) ，；(2)存在，.【解析】试题分析：（）由椭圆经过点，可得，从而可得，；进而可得椭圆的标准方程和离心率；（）假设存在点，使得直线与直线平行.设，设出直线、直线的方程，求出、的坐标，根据，可得结果.试题解析：（）依题意设所求椭圆方程为.因为椭圆经过点，所以.所以所求椭圆的标准方程为，
14、离心率. （）存在点，使得直线与直线平行.设. 则，即. 因为所以令则.所以.因为，所以.令则.所以.所以.若直线与直线平行，那么.因为，所以.即 .所以.所以.即.因为,所以.所以所以.所以所以. 20. 已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）设函数若对于任意，都有成立，求实数的取值范围【答案】(1) ；（2）当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间；（3）.【解析】试题分析：() 求出，可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（）讨论三种情况，分别令得增区间，得减区间； （）对于任意，都有成立等价于恒成立，利用
15、导数研究函数的单调性，求出其最大值，进而可得结果.试题解析：（）函数的定义域为.当时，,所以曲线在点处的切线方程为. （）因为令，即，解得或.（1）当，即时，由，得或；由，得.所以函数的增区间为，减区间为.（2）当，即时，由，得或；由，得.所以函数的增区间为，减区间为.（3）当，即时，在上恒成立，所以函数的增区间为，无减区间. 综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间. （）因为对于任意，都有成立，则，等价于. 令，则当时，. . 因为当时，所以在上单调递增.所以. 所以. 所以. 【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.