1、平面向量的概念及运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2021大庆高一检测)下列说法中正确的是()A平行向量不一定是共线向量B单位向量都相等C若a，b满足|a|b|且a与b同向，则abD对于任意向量a，b，必有|ab|a|b|【解析】选D.平行向量是共线向量，故A不正确；单位向量的模相等，方向不一定相同，故B不正确；若a，b满足|a|b|且a与b同向，则ab显然不正确，向量不能比较大小，故C错误；向量的加法的三角形法则，可知对于任意向量a，b，必有|ab|a|b|，故D正确2.如图，AB是半圆O的直径，P是半圆弧上的点，M，N是AB的两个三等分点，且AB6，则()A3 B
2、4 C6 D8【解析】选D.()()228.【加固训练】 如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()A BC D【解析】选A.由于，故其数量积是0，可排除C；与的夹角是，故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，则|cos 30a2，|cos 60a2.3(多选题)(2021长沙高一检测)下列各式一定正确的有()Aa|a|2B(ab)c(ac)ba0C(ab)2a2b2D(ab)2a22abb2【解析】选BD.对于A，a表示一个向量，而|a|2表示一个数，故A错误；对于B，(ab)c(ac)ba(ab)(ca)(ac)(ba)0故B正确；对于C，(ab)
3、2(|a|b|cos )2|a|2|b|2cos2，故只有当a，b共线时才有(ab)2a2b2，故C错误；对于D，根据平面向量的数量积的运算律可知D正确4(2021苏州模拟)如图，在斜坐标系xOy中，x轴，y轴相交成60角，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量xe1ye2，则称有序实数对x，y为向量的坐标，记作x，y，在此斜坐标系xOy中，已知向量a2，3，b5，2，则a，b夹角的大小为()A. B C D【解析】选C.根据题意，在斜坐标系xOy中，x轴、y轴相交成60角，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则e1e2，向量a2，3，b5，2，则a2e13e2
4、，b5e12e2，所以ab(2e13e2)(5e12e2)411e1e2，|a|，|b|，设a与b的夹角为，则cos，则.【加固训练】 如图，在ABC中，AB4，AC2，BAC135，D为边BC的中点，且，则向量的模为()A BC或 D或【解析】选B.因为AB4，AC2，BAC135，所以8，因为()，所以|.二、填空题(每小题5分，共10分)5如图，M，N是ABC的一边BC上的两个三等分点，若a，b，则_【解析】由题意知，而ba，所以(ba)ba.答案：ba6(2020全国卷) 已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直，则k_【解析】由题意可得：ab11cos 45，由向量垂直的充要条
5、件可得(kab)a0，即：ka2abk0，解得k.答案：三、解答题(每小题10分，共30分)7如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知ABC45，BCD60，记a，b.(1)试用a，b表示向量，；(2)若|b|1，求.【解析】(1)ab，由题意可知，ACBD，BDBCAC.所以b，则ab，a(1)b.(2)因为|b|1，所以|a|，abcos 451，则aa(1)ba2(1)ab211.8如图所示，在平行四边形ABCD中，若AB8，AD5，3，(1)若BAD，求|的值；(2)若2，求的值【解析】(1)在平行四边形ABCD中，AB8，AD5，3，当BAD时，所以2225258cos 8239，所以|；(2)，所以22 25642，解得22.9(2021聊城高一检测)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，且a与b不共线(1)若向量akb与ka2b为方向相反的向量，求实数k的值；(2)若向量a与b的夹角为60，求2ab与ab的夹角.【解析】(1)因为向量akb与ka2b为方向相反的向量，故可设akb(ka2b)，0，则akbka2b，又a与b不共线，故可得k1，k2，解得k，u.(2)向量a与b的夹角为60，故可得ab21.故|2ab|2，|ab|，(2ab)(ab)2143.故cos .又0，则.
