1、北京市工业大学附属中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1. 设为实数，命题：，.则命题的否定是（ ）A. ：，B. ：，C. ：，D. ：，【答案】D【解析】【分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，根据规则即可得出答案【详解】解：命题：，是全称命题，否定时将量词变为存在实数，再将结论中的不等号变为即可命题的否定是：，故选D【点睛】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查注意在写命题的否定时量词的变化及结论的否定2. 已知，则下列命题中正确的是( )A
2、. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质，给出反例说明题中的命题为假命题，或者利用不等式的性质证明题中的命题为真命题即可.【详解】选项A，若，题中的结论不成立；选项B，由题意结合不等式的性质可得：，故，题中的结论成立；选项C，取，满足，但是不满足，题中的结论不成立；选项D，当时，满足，但是不满足，题中的结论不成立，综上可得，只有选项B的结论成立.故选B.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，利用不等式判定命题真假的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要
3、条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.4. 已知集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，根据集合的运算求解即可【详解】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，由于，所以故选C【点睛】本题主要考查韦恩图表达集合的关系及运算、韦恩图的应用等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题5. 已知
4、集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再求即可.【详解】解：依题意，所以，故选：B6. 若正数m，n满足2mn1，则的最小值为（ ）A. 32B. 3C. 22D. 3【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式，即可容易求得结果.【详解】因为2mn1，则(2mn)33232，当且仅当nm，即m，n1时等号成立，所以的最小值为32.故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求和最小值，属基础题.7. 已知函数为奇函数，且当x 0时，x2，则等于（ ）A. 2B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】分析】首先根据解析式求的值，结合奇函数有即可求得【详解】x 0时
5、，x2112又为奇函数故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性，结合解析式及函数的奇偶性，求目标函数值8. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别利用函数的奇偶性和单调性的定义去判断即可.【详解】选项A, 在上为增函数，在上单调递减；选项B，在和上单调递减，不能说在定义域上单调递减；选项C，在上为减函数，在上单调递增，且为偶函数，只有选项D在其定义域内既是奇函数又是减函数.故选D.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，注意要优先考虑定义域，及函数单调区间的写法，考查了推理与运算能力，属于基础题.9. 设函数，若，则实
6、数的值为（ ）A. B. C. 或D. 【答案】B【解析】分析】根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.【详解】因为，所以或所以或故选：B.【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求自变量，属综合基础题.10. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（ ）A. 10个B. 9个C. 8个D. 4个【答案】B【解析】【分析】由值域可求得所有可能的取值；则定义域中元素分别为个，个和个，列举出所有可能的结果即可求得个数.【详解】由得：；由得：所求“孪生函数”的定义域分别为：，共有个“孪生函数”故选【点睛】本题考查新
7、定义的问题，涉及到函数定义域的求解；易错点是将值域误认为是无限集，造成求解错误.二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合要求的，请选出所有正确选项，若全选正确得5分，若漏选正确选项得3分，若有错选或不选得0分）11. 下列各结论正确的是（ ）A. “xy0”是“0”的充要条件B. 的最小值为2C. 命题“x1，x2-x0”的否定是“x1，x2-x0”D. “一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)”是“a+b+c=0”的充要条件【答案】AD【解析】【分析】根据符号规律可判断A;根据基本不等式成立条件以及利用单调性求最值可判断B;根
8、据全称命题否定形式可判断C;结合二次函数图象与性质可判断D.【详解】xy00，故A正确;y=，令t=3，则y=t+，且在区间3，+)上，函数值y随自变量x的增大而增大，最小值为3+，故B错误;命题“x1，x2-x0”的否定是“x1，x2-x0”，故C错误;一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)显然有a+b+c=0，反之亦可，故D正确.故选：AD【点睛】本题考查充要条件判断、全称命题否定、函数最值求法，考查综合分析判断能力，属中档题.12. 已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A. 函数为增函数B. 函数为偶函数C. 若，则D. 若，则.【答案】ACD【解析】【分
9、析】由函数图像经过点(4,2)求得,再根据对数函数的性质逐个选项分析即可.【详解】由题,故.对A,函数为增函数正确.对B, 不为偶函数.对C,当时, 成立.对D,因为往上凸,故若，则成立.故选：ACD【点睛】本题主要考查了对数函数的图像与性质,属于基础题型.三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】根据对数的真数大于零，偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查函数定义域的求解，一般要根据求函数定义域的基本原则建立不等式组求解，考查计算能力，
10、属于基础题.14. 若幂函数经过点，则_.【答案】【解析】【分析】将点代入解析式，即可求出.【详解】幂函数经过点，则，解得.故答案为：【点睛】本题考查了幂函数过点求参数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15. 若，则的最小值为_【答案】2【解析】【分析】将配凑成基本不等式形式，然后利用基本不等式，求出其最小值，得到答案.【详解】因为，所以所以.当且仅当时，即时，等号成立.所以答案为【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题.16. 已知，则a，b，c按由小到大的顺序排列是_.【答案】【解析】【分析】取中间值0和1，根据对数函数、指数函数、幂函数的性质即可比较大小.【详解】解：，故
11、答案为：.17. 若，则_.【答案】1【解析】【分析】由题得，再利用换底公式和对数的运算化简求值.【详解】又，.故答案为：1【点睛】本题主要考查对指互化，考查换底公式和对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18. 在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:下潜时，平均速度为(米/单位时间)，单位时间内用氧量为；在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量0.4；返回水面时，平均速度(米/单位时间)， 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为，则将表示为的函数为_，当下潜平均速度=_(米/单位时间)时总的用氧量最少.【
12、答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】（1）分别计算潜入水底时用氧量，水底作业时用氧量，返回水面时用氧量，即可得到总用氧量的函数；（2）利用基本不等式可得时取等号，总的用氧量最少.【详解】解：(1)； (2) ； 当且仅当即时取等号 ， 所以当下潜速度为时，总用氧量最少故答案为：；【点睛】方法点睛：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用.常用到的四种基本函数模型：直线模型：一次函数模型；反比例函数模型：型；指数函数模型：；对数函数模型，即型.四、解答题（本大题共6个小题，每小题10分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 已知集合，.（1）若，求；（2）若
13、，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化简集合,画出数轴，由交集运算即可求解；（2）在数轴上画出集合，由知的位置，即可求解.【详解】当时，由图可知， .（2），由（1）知，若，则由图可知，故实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的运算和集合间的基本关系，在已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，考查数形结合与运算能力，属于基础题.20. （1） （2）【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）根据实数指数幂的运算性质，化简、运算，即可求解；（2）根据对数的运
14、算性质，化简、运算，即可求解【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得.（2）根据对数的运算性质，可得【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算性质和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题21. （1）解不等式：；（2）解关于的不等式：.【答案】（1）或；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为【解析】【分析】（1）不等式化为，从而解出不等式.（2）不等式可化为，分三种情况讨论，并结合二次函数的性质，可求出答案.【详解】解：（1）等价于，解得或所以不等式的解集为或（2）不等式
15、可化为当时，原不等式即为，解得当时，原不等式化为，解得当时，原不等式化为，解得综上可知，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为【点睛】方法点睛：对于商式不等式通常转化为积式不等式求解，注意分母不为零即可；对于含参数的一元二次不等式不等式注意分类讨论即可.22. 已知函数.（1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并证明；（3）解不等式.【答案】（1）（2）偶函数，证明见解析；（3）或.【解析】【分析】（1）开平方被开方式非负可得解；（2）由可知函数为偶函数；（3）利用对数函数的单调性可知，得，从而得解.【详解】解;（1）易知或.所以定义域为.（2）由（1）知，函
16、数的定义域关于原点对称，由，从而知为偶函数；（3）由条件得，得，解得或.所以不等式的解集为：或.23. 已知函数，且（1）若在区间上有零点，求实数的取值范围；（2）若在上的最大值是2，求实数的的值【答案】（1）;（2）或.【解析】【详解】试题分析：（1）由，得.又在区间上有零点可得.或者可用求根公式求得另一零点,使其在区间内. （2）函数的图像是开口向上的抛物线,对称轴为.讨论对称轴与区间的关系,根据函数的单调性求其最大值.试题解析：解：（1）由，得 又在区间上有零点，且的一个零点是1；所以， （2），对称轴为当时，则；当时，则，或（舍去）；当时，则（舍去）；综上：或 考点：1函数的零点;2单
17、调性求最值.24. 如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的xR，均有f（-x）-f（x），则称该函数是“X函数”.（1）分别判断下列函数：y=；y=x+1；y=x2+2x-3是否为“X函数”？（直接写出结论）（2）若函数f（x）=x-x2+a是“X函数”，求实数a的取值范围；（3）设“X函数”f（x）=在R上单调递增，求所有可能的集合A与B.【答案】（1）是“X函数”，不是“X函数”.（2）（0，+）（3）A=0，+），B=（-，0）【解析】【分析】（1）直接利用信息判断结果；（2）利用信息的应用求出参数的取值范围；（3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.【详解】（1）是“X函数
18、”，不是“X函数”；（2）f（-x）=-x-x2+a，-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X函数”，f（-x）=-f（x）无实数解，即x2+a=0无实数解，a0，a的取值范围为（0，+）；（3）对任意的x0，若xA且-xA，则-xx，f（-x）=f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；若xB且-xB，f（-x）=-f（x），与f（x）是“X函数”矛盾，舍去；对任意的x0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B，（0，+）A，（-，0）B，假设0B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X函数”矛盾，舍去；0A，经检验，A=0，+），B=（-，0）符合题意.【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.
