1、山东省济宁市鱼台县第一中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考（10月）试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接根据空间对称关系得到答案【详解】关于 轴对称，则值不变，和的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为故选：A.【点睛】本题考查了空间中的对称问题，意在考查学生的空间想象能力.2. 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的坐标运算直接得出结果.【详解】.故选
2、：A.【点睛】本题考查空间向量加法的坐标运算，属于简单题.3. 已知，若，则常数（ ）A. -6B. 6C. -9D. 9【答案】A【解析】【分析】等价转化为,利用空间向量的坐标运算得到关于的方程，解之即可.【详解】解：由得，又，,解得,故选：A.【点睛】本题考查空间向量的垂直的充分必要条件，涉及空间向量的数量积的坐标运算，属基础题.4. 已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量=，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】根据题意，寻找与共面的向量即可.【详解】因为=，=，故()，所以与向量共面，故，不能构成空间的一个基底.故选：.【点
3、睛】本题考查构成向量是否共面的判断，属基础题.5. 已知三棱锥的各棱长均为1，且是的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先以为基底进行线性转化，再利用数量积定义计算即可.【详解】以为基底进行线性转化，棱长均为1，故是的中点，故，故.故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题.6. 已知空间四个点，则直线AD与平面ABC所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量法求出线面角即可.【详解】设平面的法向量为，直线AD与平面ABC所成的角为令，则则故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线面角，属于中档题.7.
4、在空间直角坐标系中，平面的法向量为,为坐标原点.已知，则到平面的距离等于（ ）A. 4B. 2C. 3D. 1【答案】A【解析】【详解】试题分析：.所以点到面的距离.故选：A8. 如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出，进而得到结果.【详解】，故选：【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的
5、得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ABCD【解析】【分析】根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，从而可得正确的选项.【详解】若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件为它们的方向向量平行（或垂直），故A、B均正确.若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件为它们的法向量平行（或垂直），故C、D均正确.故选：ABCD【点睛】本题考查空间中点线面位置关系判断的向量方法，考查学生的转化能力和空间想象力，本
6、题属于容易题10. 已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）A. B. C. 向量与向量的夹角是60D. 正方体ABCDA1B1C1D1的体积为【答案】AB【解析】【分析】利用空间向量的加减法运算法则，数量积公式，向量夹角公式对各个选项进行判断即可.【详解】由向量的加法得到：，所以A正确；，AB1A1C，故B正确；ACD1是等边三角形，AD1C60，又A1BD1C，异面直线AD1与A1B所成的夹角为60，但是向量与向量的夹角是120，故C不正确；ABAA1，故0，因此D不正确.故选：AB.【点睛】本题考查用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积.用到向量的
7、加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算.11. 在正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的是（ ）A. /平面B. 平面C. D. 点与点到平面的距离相等【答案】AC【解析】【分析】采用逐一验证法，建立空间直角标系，根据线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理可知A,B正误，然后根据向量的坐标运算以及点面距相等的判定条件，可得结果.【详解】对A，因为分别是和的中点故，故/平面成立. 对B，建立如图空间直角坐标系，设正方体边长为2则，.故.故不互相垂直.又属于平面.故平面不成立. 对C， ，故成立.对D，点与点到平面的距
8、离相等则点与点中点在平面上.连接易得平面即平面.又点与点中点在上，故点不在平面上.故D不成立.故选：AC【点睛】本题考查线面关系、点面距以及空间向量的坐标运算，掌握线线、线面、面面的相关定理以及点面距、面面距、线面距的向量求法，属基础题.12. 如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（）A. ；B. ；C. 三棱锥是正三棱锥；D. 平面的法向量和平面的法向量互相垂直.【答案】BC【解析】【分析】通过线面垂直的判定得出平面ADC，进而，故而可判断A；通过证明是等边三角形可判断B；通过正三棱锥的定义可判断C；通过平面和平面不垂直可
9、判断D.【详解】D为BC的中点，又平面平面ACD，平面平面ACD=AD，平面ABD，平面ADC，又平面ADC，即，故A不正确；由A知，平面ADC，平面ADC，设，则，由勾股定理得：，是等边三角形，故B正确；是等边三角形，三棱锥是正三棱锥，故C正确；由A知，平面ADC，而面内不存在与平行的直线，故平面和平面不垂直，即平面的法向量和平面的法向量互相垂直错误；故D错误；故选：BC.【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量,且与互相垂直,则_.【答案】 【解析】【分析】利用向量
10、垂直满足数量积为0，代入坐标，建立等式，即可得出答案【详解】，而，得到 ，解得【点睛】本道题考查了向量数量积公式，向量垂直，说明数量积为0，建立等式，计算结果14. 如图，在长方体中，分别是面、面的中心，则、两点间的距离为_.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点，分别以，所在方向为、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，分别列出E与F的空间坐标，然后，利用两点间距离公式即可求解【详解】以为坐标原点，分别以，所在方向为、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由条件知，.，、两点间的距离为.故答案为：【点睛】本题考查了空间中两点距离的计算，属于基础题15. 如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面
11、的法向量_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】易知，从而可得，结合，从而解得【详解】是正方形，且，故，故，向量是平面OCB1的法向量，故，取，故，平面的法向量故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查平面的法向量，建系求解即可，主要考查学生的运算能力，属于基础题.16. 如图在一个的二面角的棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，则_.【答案】3【解析】【分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求【详解】，.故答案为：3.【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
12、四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知正方形ABCD的边长为2，平面 ABCD，且PA=2，E是PD中点以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系（）求点的坐标；（）求【答案】（），（）【解析】试题分析：（）利用空间直角坐标系的性质能求出点A，B，C，D，P，E的坐标（）先求出向量，再求的长试题解析：（）由题意有：，（）， 考点：空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标18. 如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，设，.（1）试用，表示向量，；（2）若，求直线与所成的角.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由向量的加减运算法则，即可
13、求解向量，；（2）根据向量的数量积的运算公式，分别求得,结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）由向量的加减运算法则知：在平行四边形中，又由.（2）由题意知，可得.又由，所以，因为，所以.所以与所成的角为.【点睛】本题主要考查空间向量线性运算，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记空间向量的数量积和夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19. 在正方体中，棱长为1.（1）求直线BC与直线所成角的余弦值；（2）求点A到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，以AB、AD、方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求得，再
14、求两向量夹角的余弦值，即可得到答案；（2）求得平面的一个法向量，再利用向量法求点到平面的距离.【详解】（1）依题意，AB，AD，是两两互相垂直的，以A为坐标原点，以AB、AD、的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设直线BC与直线所成的角为，即直线BC与直线所成角的余弦值为.（2）由（1）知，设平面的一个法向量，则，令，则，此时，点A到平面的距离为.【点睛】本题考查异面直线所成角、点到面的距离，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意建系时要找到三条两两互相垂直的直线.20. 如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点.（1）求证：平
15、面；（2）求直线与平面所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连结、，先证明四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定理可得结果；（2）连结，得到为直线与平面所成的角，在中求出.【详解】（1）证明：取的中点，连结、，因为是的中位线，所以，且，又因为，且，分所以且所以四边形是平行四边形，所以，又因为面，面，所以面，（2）解：连结，因为，是中点，所以，又因为面面，面，面面所以面，所以直线为在面内的射影，所以为直线与平面所成的角，设，则在中，所以，所以，所以直线与平面所成的角为.【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是中档题
16、.21. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，、分别是，的中点，点在线段上，且.（1）证明：无论取何值，总有；（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示出，然后计算，进行判断可得结果.（2）分别计算平面，平面的一个法向量，然后使用空间向量的夹角公式计算即可.【详解】解：以为坐标原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，如图，则，（），无论取何值，.（）时，.而面的法向量，设平面的法向量为，则，设为平面与平面所成锐二面角，.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的
17、求法，重在计算，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属中档题.22. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，边长为2，且，异面直线与所成的角为.（1）求证：平面；（2）若是线段的中点，求点到直线的距离.（3）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可证明结论成立；（2）以为原点，的方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，根据题中条件，求出，再由，即可求出结果；（3）根据向量的方法先分别求出平面的法向量，根据向量夹角公式，即可得出结果.【详解】（1）四边形是菱形，平面，平面，为中点，又，平面，平面.（2）以为原点，的方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，为异面直线与所成角，在菱形中，设，则，在中，由余弦定理得：，解得，点到直线的距离为.（3）由（2）得，设平面的法向量，则，取，则，设是平面的法向量，因为，由，令，则，得，设二面角的平面角为，二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查证明线面垂直，考查求点到直线的距离，考查求二面角的余弦值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.
