1、门头沟区2013年高三年级抽样测试2013.3数学（理工类）本试卷分第卷和第卷两部分，第卷l至2页，第卷3至5页，共150分考试时间120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交第卷 (选择题 40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知全集U R，集合A，B，则集合等于(A) (B) (C) (D) R 【答案】A,，所以，选A.2. “”是“函数在区间上存在零点”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】C若时，当时
2、，所以函数且单调递增，所以函数在区间上存在零点。因为，所以要使在区间上存在零点，则有函数单调递增，所以。所以“”是“函数在区间上存在零点”的充分必要条件，选C.3下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是 (A)(B)(C)(D) 【答案】B由得，即，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径为1.所以与轴平行且与圆相切的直线方程为或，即极坐标方程为或，所以选B.4有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲校，则不同的保送方案有(A) 24种(B) 30种(C) 36种(D) 48种【答案】A若A单独去一个学校，则有种。若A不单独去一个学校，则有，所以
3、不同的报送方案有24种，所以选A.5如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PAACAB，则以下结论不正确的是(A) CBCP(B) PCACPABC(C)PC是圆O的切线(D) BCBABP【答案】D连结.因为，所以，即，所以是的中点，所以，且,即PC是圆O的切线，所以C正确。同时,所以A正确。因为，CBCP，所以PCACPABC，所以B正确。又，所以，所以D错误。选D.6已知P是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是(A) (B)(C) (D) 【答案】C由题意知，所以。又的取值范围为，所以双曲线的渐近线效率，且焦点在轴上。即，所以，解得，所以双曲线的方
4、程为，选C.主视图1左视图1俯视图17一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A) (B) (C) (D) 【答案】C 由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，选C.8定义在 R上的函数是减函数，且函数的图象关于点成中心对称，若满足不等式组，则当时，的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【答案】D因为的图象关于点成中心对称，所以函数关于原点对称。由得，即，因为函数是减函数，所以，又，所以，设，做出不等式对应的区域。由得，平移直线，由图象可知，当直线经过点时截距最小。此时。由，
5、得，即,此时直线的截距最大，为。所以，所以选D.第卷 (非选择题110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9复数，则 【答案】，所以。10在等差数列中，则等于 【答案】因为，所以，即，所以，所以。11在ABC中，若，则 【答案】由，得,所以.所以,即，所以。开始，输出S结束是否12执行如右图所示的程序框图，输出的S值为 【答案】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，此时满足条件输出。13在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则向量 【答案】，所以。14定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“等比函数
6、”。现有定义在上的如下函数：；，则其中是“等比函数”的的序号为 【答案】若，则，所以不是常数，所以不是“等比函数”。若，所以不是常数，所以不是“等比函数”。若，所以是常数，所以是“等比函数”。若，则，所以是常数，所以是“等比函数”。所以是“等比函数”的的序号为.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）已知：函数（）求函数的对称轴方程；（）当时，求函数的最大值和最小值16（本小题满分14分）ACDBN在等腰梯形ABCD中，N是BC的中点将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）（）求证：平面； （）求证：平面；（）求二面角的余弦值17（本
7、小题满分13分） 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为010，分为五个级别，02 畅 通；24 基本畅通；46 轻度拥堵；68 中度拥堵；810 严重拥堵 早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图 3456789交通指数频率0.240.20.160.1组距（）这50个路段为中度拥堵的有多少个？ （）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严
8、重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望18(本小题满分14分）已知函数（）函数在点处的切线与直线平行，求的值；（）当时，恒成立，求的取值范围2,4,619（本小题满分13分）在平面直角坐标系中， 动点到直线的距离是到点的距离的倍（）求动点的轨迹方程；（）设直线与（）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由20（本小题满分13分）对于集合，定义函数，对于两个集合，定义集合已知，（）写出与的值，并用列举法写出集合；（）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；（III）有多少个集合对，满足，且门头沟区20
9、13年高三年级抽样测试数学试卷（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分12345678ACBADCCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分91011121314三、解答题：本大题共6小题，共80分15（本小题满分13分）已知：函数（）求函数的对称轴方程；（）当时，求函数的最大值和最小值解：（） 5分 7分 函数关于直线 对称 所以 对称轴方程为 9分 （）当时， 由函数图象可知，的最大值为1，最小值为12分所以函数的最大值为，最小值为 13分16（本小题满分14分）ACDBN在等腰梯形ABCD中，N是BC的中点将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（
10、如图）（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值（）证明：因为，N是BC的中点所以，又所以四边形是平行四边形，所以又因为等腰梯形，xzyACDBN所以 ，所以四边形是菱形，所以所以，即由已知可知 平面平面，因为 平面平面所以平面 4分（）证明：因为， 所以平面平面又因为平面，所以 平面 8分 （）因为平面同理平面，建立如图如示坐标系设， 则, ， 9分则，设平面的法向量为，有 ，得 11分因为平面，所以平面平面又，平面平面所以平面与交于点O，O则为AN的中点，O所以平面的法向量 12分所以 13分由图形可知二面角为钝角所以二面角的余弦值为 14分17（本小题满分13分） 交通指数是交
11、通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为010，分为五个级别，02 畅 通；24 基本畅通；46 轻度拥堵；68 中度拥堵；810 严重拥堵 3456789交通指数频率0.240.20.160.1组距早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图 （）这50个路段为中度拥堵的有多少个？ （）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时
12、间的数学期望解：（） 这50路段为中度拥堵的有18个 3分 （）设事件A “一个路段严重拥堵”，则 事件B “至少一个路段严重拥堵”，则所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是8分（III）分布列如下表：303642600.10.440.360.1此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟13分18（本小题满分14分）已知函数（）函数在点的切线与直线平行，求的值；（）当时，恒成立，求的取值范围解： （） 2分， 3分 因为函数在点的切线与直线平行所以， 5分（）令当时，在上，有，函数增；在上，有，函数减， 函数的最小值为0，结论不成立6分当时， 7分若，结论不成立 9分若，则，在上，有，函数增；在
13、上，有，函数减，只需 ，得到，所以 11分若，函数在有极小值，只需得到，因为，所以 13分综上所述， 14分19（本小题满分13分）在平面直角坐标系中， 动点到直线的距离是到点的距离的倍（）求动点的轨迹方程；（）设直线与（）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（）解：设点的坐标为由题意知 3分化简得 所以动点的轨迹方程为 5分（）设直线的方程为，点因为，所以有，由已知得，所以有（1） 7分由，得，（2），（3） 10分由（1）（2）（3）得或所以 存在点为 13分20（本小题满分13分）对于集合，定义函数对于两个集合，定义集合已知，（）写出与的值，并用列举法写出集合（）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；（III）有多少个集合对满足，且（）解：， 1分 2分（），要使的值最小，一定属于集合，不能含有以外的元素，所以当集合为的子集与集合的并集时，的值最小，最小值是 8分（）因为 所以运算具有交换律和结合律所以而所以，所以，而所以满足条件的集合对有个 13分注：不同解法请教师参照评标酌情给分