1、2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知复数z，满足（z1）i=i1，则|z|=（）ABC2+iD2已知集合A=x|log2x1，B=x|1，则A（RB）=（）A（，2B（0，1C1，2D（2，+）3已知=（2，m），=（1，2），若（+2），则m的值是（）A4B4C0D24已知直线y=k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A0，+）B0，C（0，D（，+）5执行如图程序，输出的结果为（）A513B1023C1025D20476平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13
2、边形的对角线条数为（）A42B65C143D1697刘徽的九章算术注中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A2B2+C3+D3+8已知f（x）=asinx+b+4，若f（lg3）=3，则f（lg）=（）ABC5D89已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A=B=Cf（x）的单调减区间为（2k，
3、2k+），kZDf（x）的对称中心是（k+，0），kZ10设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=ff（0）（x），f（2）（x）=ff（1）（x），f（n）（x）=ff（n1）（x），则f（1）ABC0D111将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）ABCD12已知P（x，y）（其中x0）为双曲线x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则PAB的面积为（）ABCD与点P的位置有关二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为14在等差数列an中，an0，a
4、7=a4+4，Sn为数列an的前n项和，S19=15已知点P（a，b）在函数y=上，且a1，b1，则alnb的最大值为16已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为三、解答题（共5小题，满分60分）17ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c（1）求cosC；（2）若c=4，求ABC的面积18经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图（）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数
5、据分布情况；（）如图2按照打分区间0，60）、60，70）、70，80）、80，90）、90，100绘制的直方图中，求最高矩形的高；（）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率19如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将AMD沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，连接AB、AC（）在AB边上是否存在点P，使AD平面MPC？（）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离20已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=1相切（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴
6、对称，求证：直线AC恒过定点21已知函数f（x）=ax+lnx（）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（）设函数h（x）=x2f（x）有两个极值点x1、x2，且x1，1），求证：|h（x1）h（x2）|2ln2请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22已知曲线C1的极坐标方程是=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2（）求曲线C2的参数方程；（）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|MB|的值【选修4-5：不等式选讲】23已知不等式|
7、2x3|x与不等式x2mx+n0的解集相同（）求mn；（）若a、b、c（0，1），且ab+bc+ac=mn，求a+b+c的最小值2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知复数z，满足（z1）i=i1，则|z|=（）ABC2+iD【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：（z1）i=i1，i（z1）i=i（i1），z1=1+i，z=2+i则|z|=故选：D2已知集合A=x|log2x1，B=x|1，则A（RB）=（）A（，2B（0，1C1，2D（2，+）【考点】交、并、
8、补集的混合运算【分析】求函数定义域求出集合A，解不等式求出集合B，根据补集与交集的定义写出A（RB）【解答】解：集合A=x|log2x1=x|0x2，B=x|1=x|10=x|0x1，RB=x|x0或x1，A（RB）=x|1x2=1，2故选：C3已知=（2，m），=（1，2），若（+2），则m的值是（）A4B4C0D2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据题意，由向量、的坐标可得+2=（4，m4），又由（+2），则有4m=2（m4），解可得m的值，即可得答案【解答】解：根据题意， =（2，m），=（1，2），则+2=（4，m4），若（+2），则有4m=2（m4），即m4=2m，解可
9、得m=4；故选：A4已知直线y=k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A0，+）B0，C（0，D（，+）【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，直线y=kx1过定点（0，1），利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域阴影部分，直线y=k（x+1）过定点D（1，0），由图象可知要使直线y=k（x+1）与区域有公共点，则直线的斜率kkBD，由，得B（1，3），此时kBD=，故0k，故选：C5执行如图程序，输出的结果为（）A513B1023C1025D2047【考点】程序框图【分析】执行循环体，依此类推，当n=11，不满足条件此时s=20
10、47，退出循环体，从而输出此时的s即可【解答】第一次循环，x=3，i=210，第二次循环，x=7，i=310，第三次循环，x=15，i=410，第四次循环，x=31，i=510，第五次循环，x=63，i=610，第六次循环，x=127，i=710，第七次循环，x=255，i=810，第八次循环，x=511，i=910，第九次循环，x=1023，i=1010，第十次循环，x=2047，i=1110，输出x=2047，故选：D6平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A42B65C143D169【考点】归纳推理【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，
11、则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线根据对角线条数的数据变化规律进行总结即得【解答】解：可以通过列表归纳分析得到；多边形45678对角线22+32+3+42+3+4+52+3+4+5+613边形有2+3+4+11=65条对角线故选B7刘徽的九章算术注中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率
12、是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A2B2+C3+D3+【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图形求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算其表面积为S=S正方形ABCD+SPAB+SPBC+SPCD+SPAD=12+11+1+1+11=2+故选：B8已知f（x）=asinx+b+4，若f（lg3）=3，则f（lg）=（）ABC5D8【考点】抽象函数及其应用；函数的值【分析】由已知中f（x）=asinx+b+4，可得：f
13、（x）+f（x）=8，结合lg=lg3可得答案【解答】解：f（x）=asinx+b+4，f（x）+f（x）=8，lg=lg3，f（lg3）=3，f（lg3）+f（lg）=8，f（lg）=5，故选：C9已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A=B=Cf（x）的单调减区间为（2k，2k+），kZDf（x）的对称中心是（k+，0），kZ【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出的值，可判断出A；把点（，0）代入解析式化简后，由题意求出的值判断出B；由整体思想和正弦函数的单调性求出递减区间
14、，判断出C；由整体思想和正弦函数的对称中心求出f（x）的对称中心，判断出D【解答】解：由图象得，A=1， T=1，则T=2，由得，=，则A正确；因为过点（，0），所以sin（+）=0，则+=k（kZ），=+k（kZ），又|，则=或，所以f（x）=sin（x）或f（x）=sin（x+），则B错误；当f（x）=sin（x+）时，由得，所以函数的递增区间是（2k，2k+），kZ，则C正确；当f（x）=sin（x）时，由x=k（kZ）得，x=k+（kZ），所以f（x）的对称中心是（k+，0），kZ，则D正确；故选B10设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=ff（0）（x），f（2）（x）=ff（
15、1）（x），f（n）（x）=ff（n1）（x），则f（1）ABC0D1【考点】导数的运算【分析】求函数的导数，得到函数导数具备周期性，结合三角函数的运算公式进行求解即可【解答】解：f（0）x=sinx，则f（1）x=cosx，f（2）（x）=sinx，f（3）（x）=cosx，f（5）x=sinx，则f（5）x=f（1）（x），即f（n+4）（x）=f（n）（x），则f（n）（x）是周期为4的周期函数，则f（1）（x）+f（2）（x）+f（3）（x）+f（4）（x）=sinx+cosxsinxcosx=0，则f（1）=cos15=cos=cos45cos30+sin45sin30=+=，故选：
16、A11将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）ABCD【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，x=22r，圆柱的体积为V（r）=r2（22r）（0r1），则V（r）=圆柱的最大体积为，此时r=，故选：B12已知P（x，y）（其中x0）为双曲线x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则PAB的面积为（）ABCD与点P的位置有关【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意，O，P，A，B四点共圆，APB=AO
17、B，tan=2，sinAOB=，求出|PA|PB|，即可得出结论【解答】解：由题意，O，P，A，B四点共圆，APB=AOB，tan=2，sinAOB=，设P（x，y），双曲线的渐近线方程为y=2x，则|PA|PB|=，PAB的面积为=故选C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为（x1）2+（y2）2=5【考点】圆的标准方程【分析】根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，由点M、N的坐标结合中点坐标公式可得C的坐标，又由2r=|MN|，结合两点间距离公式可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案【解答】解：根据
18、题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，又由点M（2，0）、N（0，4）；则有，解可得，又有2r=|MN|=，则r2=5；故要求圆的方程为：（x1）2+（y2）2=5；故答案为：（x1）2+（y2）2=514在等差数列an中，an0，a7=a4+4，Sn为数列an的前n项和，S19=76【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列通项公式得a1+9d=a10=4，再由等差数列的前n项和公式得S19=（a1+a19）=19a10，由此能求出结果【解答】解：等差数列an中，an0，a7=a4+4，解得a1+9d=a10=4，Sn为数列an的前n项和，则S19=（a1+a19）
19、=19a10=76故答案为：7615已知点P（a，b）在函数y=上，且a1，b1，则alnb的最大值为e【考点】对数的运算性质；基本不等式【分析】点P（a，b）在函数y=上，且a1，b1，可得，两边取对数可得lna+lnb=2（lna0，lnb0）令t=alnb，可得lnt=lnalnb，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：点P（a，b）在函数y=上，且a1，b1，可得lnb=2lna，即lna+lnb=2（lna0，lnb0）令t=alnb，lnt=lnalnb=1，当且仅当lna=lnb=1，即a=b=e时取等号te故答案为：e16已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两
20、条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】求解面积最大值时的点的坐标，利用焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，可得c=1，两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（m，n），可得S=4mn，2=，当且仅当时，mn，此时四边形的面积取得最大值，解得m=，n=，可得双曲线的实轴长2a=，双曲线的离心率为： =故答案为：三、解答题（共5小题，满分60分）17ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c（1）求cosC；（2）若c=4，求ABC的面积
21、【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由题意和正弦定理列出方程后，由二倍角的正弦公式化简后求出cosC；（2）由条件求出b，由内角的范围和平方关系求出sinC，由余弦定理列出方程化简后求出a，代入三角形的面积公式求出ABC的面积【解答】解：（1）B=2C，2b=3c，由正弦定理得，则，即cosC=；（2）2b=3c，且c=4，b=6，0C，cosC=，sinC=，由余弦定理得，c2=a2+b22abcosC，则，即a29a+20=0，解得a=4或a=5，当a=4时，ABC的面积S=，当a=5时，ABC的面积S=18经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对
22、20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图（）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（）如图2按照打分区间0，60）、60，70）、70，80）、80，90）、90，100绘制的直方图中，求最高矩形的高；（）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图【分析】（）利用茎叶图能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散（）20名学生中，打分区间0，60）、60，70）、70，80）、80，90）、90，
23、100中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间70，80）的人数最多，有9人，所点频率为0.45，由此能求出最高矩形的高（）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出有女生被抽中的概率【解答】解：（）女生打分的平均分为：=（68+69+75+76+70+79+78+82+87+96）=78，男生打分的平均分为：=（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）=69从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散（）20名学生中，打分区间0，60）、60，7
24、0）、70，80）、80，90）、90，100中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间70，80）的人数最多，有9人，所点频率为： =0.45，最高矩形的高h=0.045（）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数n=20，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，有女生被抽中的概率p=1=1=19如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将AMD沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，连接AB、AC（）在AB边上是否存在点P，使AD平面MPC？（）当点P为AB边中点时，求点B到平面M
25、PC的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定【分析】（）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD平面MPC，证明ADOP，即可证明AD平面MPC？（）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离【解答】解：（）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD平面MPC连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，OB=2OD，PB=2PA，OPAD，AD平面MPC，OP平面MPC，AD平面MPC；（）由题意，AMMD，平面AMD平面MBCD，AM平面MBCD，P到平面MBC的距离为，MBC中，MC=BC=，MB=2，MCBC，SMBC=1
26、，MPC中，MP=CP，MC=，SMPC=设点B到平面MPC的距离为h，则由等体积可得，h=20已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=1相切（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程【分析】（1）由题意可知圆心M的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y=1为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心M的轨迹方程；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x2，y2）代入抛物线方，由韦达定理及直线直线AC的方程为
27、：yy2=（x+x2），把根与系数的关系代入可得4y=（x2x1）x+8，令x=0，即可得出直线恒过定点【解答】解：（1）动点M到直线y=1的距离等于到定点C（0，1）的距离，动点M的轨迹为抛物线，且=1，解得：p=2，动点M的轨迹方程为x2=4y；（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x2，y2）联立，化为x24kx+8=0，=16k2320，解得k或kx1+x2=4k，x1x2=8直线直线AC的方程为：yy2=（x+x2），又y1=kx12，y2=kx22，4ky4k（kx22）=（kx2kx1）x+kx1x2kx2
28、2，化为4y=（x2x1）x+x2（4kx2），x1=4kx2，4y=（x2x1）x+8，令x=0，则y=2，直线AC恒过一定点（0，2）21已知函数f（x）=ax+lnx（）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（）设函数h（x）=x2f（x）有两个极值点x1、x2，且x1，1），求证：|h（x1）h（x2）|2ln2【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（I）令f（x）0在（0，1）上恒成立，使用分离参数法求出a的范围；（II）令h（x）=0，结合二次函数的性质和极值点的定义可判断h（x1）h（x2），根据根与系数的关系化简|h（x1）h（x2
29、）|=x12+2lnx1，求出右侧函数的最大值即可证明结论【解答】解：（I）f（x）在区间（0，1）上单调递增，f（x）=a+0，x（0，1），即a，x（0，1），1，a1（II）证明：h（x）=axlnx，h（x）=xa，x（0，+）令h（x）=0得x2+ax+1=0，函数h（x）=x2f（x）有两个极值点x1、x2，且x1，1），方程x2+ax+1=0有两解x1、x2，且x1，1），x1x2=1，x1+x2=a，且ax1=1x12，ax2=1x22，x2（1，2当0xx1时，h（x）0，当x1xx2时，h（x）0，当xx2时，h（x）0，x1为h（x）的极小值点，x2为h（x）的极大值点，
30、|h（x1）h（x2）|=h（x2）h（x1）=x22ax2lnx2+x12+ax1+lnx1=x22x12+ln=x12+2lnx1，令H（x1）=x12+2lnx1，则h（x1）=x1+=0，H（x1）在，0）上是减函数，H（x1）H（）=2ln22ln2，即|h（x1）h（x2）|2ln2请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22已知曲线C1的极坐标方程是=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2（）求曲线C2的参数方程；（）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点
31、，求|MA|MB|的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（）先求出曲线C2方程，再求出参数方程；（）将直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，化简整理，运用韦达定理，即可得到所求|MA|MB|的值【解答】解：（）由题意知，曲线C1的极坐标方程是=1，直角坐标方程为x2+y2=1，曲线C2方程为x2+y2=1，参数方程为（为参数）（）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2=1，化简得5t2+t8=0，即有t1t2=，可得|MA|MB|=|t1t2|=【选修4-5：不等式选讲】23已知不等式|2x3|x与不等式x2mx+n
32、0的解集相同（）求mn；（）若a、b、c（0，1），且ab+bc+ac=mn，求a+b+c的最小值【考点】一元二次不等式的解法【分析】（）讨论2x30或2x30，求出不等式|2x3|x的解集，得出不等式x2mx+n0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；（）根据a、b、c（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值【解答】解：（）当2x30，即x时，不等式|2x3|x可化为2x3x，解得x3，x3；当2x30，即x时，不等式|2x3|x可化为32xx，解得x1，1x；综上，不等式的解集为x|1x3；不等式x2mx+n0的解集为x|1x3，方程x2mx+n=0的两实数根为1和3，mn=43=1；（）a、b、c（0，1），且ab+bc+ac=mn=1，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）=3（ab+bc+ca）=3；a+b+c的最小值是2017年4月5日
