1、广东省汕头市南澳中学2015届高考数学二模试卷（文科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合M=x|3x1，xR，N=3，2，1，0，1，则MN=（）A2，1，0，1B3，2，1，0C2，1，0D3，2，12（5分）设z=+i，则|z|=（）ABCD23（5分）函数的定义域为（）A（，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（2，4）（4，+）4（5分）已知是第二象限角，=（）ABCD5（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）ABCD6（5分）已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则
2、an的前10项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）7（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x3y的最小值是（）A7B6C5D38（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A108cm3B100cm3C92cm3D84cm39（5分）设椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2F1F2，PF1F2=30，则C的离心率为（）ABCD10（5分）当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）A5，3B6，C6，2D4，3二填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.（
3、一）必做题（1113题）11（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20，40），40，60），60，80），80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是12（5分）已知A（1，1），B（1，2），C（2，1），D（3，4），则向量在方向上的投影为13（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则f（）=（二）选做题（1415题）考生只能选作一题14（5分）在平面直角坐标系中，若直线l1：（s为参数）和直线l2：（t为参数）平行，则常数a的值为15（几何证明选做题） 如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的
4、平行线与AD的延长线相交于点P已知A=C，PD=2DA=2，则PE=三、解答题（共6小题，满分80分）16（13分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知bsinA=3csinB，a=3，（） 求b的值；（） 求的值17（13分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050（） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人请将其余各组抽取的人数填入下表组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6（
5、） 在（）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率18（13分）已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0，S5=5，（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和19（13分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，已知PB=PD=2，PA=（1）证明：PCBD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥EABC的体积20（14分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左焦点F（1，0），离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P（1，0），Q（，0），过P的直线l交椭圆C于A，B两点，求的值21（14
6、分）已知函数f（x）=x1+（aR，e为自然对数的底数）（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求a的值；（）求函数f（x）的极值；（）当a=1的值时，若直线l：y=kx1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值广东省汕头市南澳中学2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合M=x|3x1，xR，N=3，2，1，0，1，则MN=（）A2，1，0，1B3，2，1，0C2，1，0D3，2，1考点：交集及其运算 专题：计算题分析：找出集合M与N的公共
7、元素，即可求出两集合的交集解答：解：集合M=x|3x1，xR，N=3，2，1，0，1，MN=2，1，0故选C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）设z=+i，则|z|=（）ABCD2考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题；数系的扩充和复数分析：先求z，再利用求模的公式求出|z|解答：解：z=+i=+i=故|z|=故选B点评：本题考查复数代数形式的运算，属于容易题3（5分）函数的定义域为（）A（，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（2，4）（4，+）考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，
8、分母不等于0，建立不等式，解之即可解答：解：要使原函数有意义，则，解得：2x3，或x3所以原函数的定义域为（2，3）（3，+）故选C点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题4（5分）已知是第二象限角，=（）ABCD考点：同角三角函数间的基本关系 专题：三角函数的求值分析：由为第二象限角，得到cos小于0，根据sin的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos的值解答：解：为第二象限角，且sin=，cos=故选A点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键5（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8
9、，则输出S=（）ABCD考点：程序框图 专题：图表型分析：由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i8，即i=2，4，6，8，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值解答：解：当i=2时，S=0+=，i=4；当i=4时，S=+=，i=6；当i=6时，S=+=，i=8；当i=8时，S=+=，i=10；不满足循环的条件i8，退出循环，输出S=故选A点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理6（5分）已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an的前10项和等于（）A6（1310）BC3
10、（1310）D3（1+310）考点：等比数列的前n项和 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由已知可知，数列an是以为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求解答：解：3an+1+an=0数列an是以为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选C点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x3y的最小值是（）A7B6C5D3考点：简单线性规划 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可解答：解：由z=2x3y得y=，作出不等式组对应的平面区
11、域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C时，直线y=截距最大，此时z最小，由，解得，即C（3，4）代入目标函数z=2x3y，得z=2334=612=6目标函数z=2x3y的最小值是6故选：B点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法8（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A108cm3B100cm3C92cm3D84cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：立体几何分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥
12、（长方体的一个角）据此即可得出体积解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）该几何体的体积V=663=100故选B点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键9（5分）设椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2F1F2，PF1F2=30，则C的离心率为（）ABCD考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案解答：解：|PF2|=x，PF2F1F2，PF1F2
13、=30，|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c2a=3x，2c=x，C的离心率为：e=故选D点评：本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题10（5分）当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）A5，3B6，C6，2D4，3考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法 专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：分x=0，0x1，2x0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集解答：解：当x=0
14、时，不等式ax3x2+4x+30对任意aR恒成立；当0x1时，ax3x2+4x+30可化为a，令f（x）=，则f（x）=（*），当0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1上单调递增，f（x）max=f（1）=6，a6；当2x0时，ax3x2+4x+30可化为a，由（*）式可知，当2x1时，f（x）0，f（x）单调递减，当1x0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）min=f（1）=2，a2；综上所述，实数a的取值范围是6a2，即实数a的取值范围是6，2故选：C点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集二
15、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.（一）必做题（1113题）11（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20，40），40，60），60，80），80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是50考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率总体容量，即可得到总体容量解答：解：成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分
16、的频率P=（0.005+0.010）20=0.3，又低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50故答案为：50点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键12（5分）已知A（1，1），B（1，2），C（2，1），D（3，4），则向量在方向上的投影为考点：平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：根据点的坐标，分别算出=（5，5）、=（2，1），从而算出=15且|=5再利用向量投影的公式加以计算，即可得到向量在方向上的投影的值解答：解：C（2，1），D（
17、3，4），=（5，5），同理可得=（2，1），=52+51=15，=5设、的夹角为，则向量在方向上的投影为|cos=故答案为：点评：本题给出A、B、C、D各点的坐标，求向量在方向上的投影着重考查了平面向量的坐标运算、数量积的公式及其运算性质和向量投影的概念等知识，属于中档题13（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则f（）=1考点：函数的值 专题：计算题分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值解答：解：f（x）是定义在R上的周期为2的函数，=1故答案为：1点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要
18、计算正确，往往都能把握住，在2015届高考中，属于“送分题”（二）选做题（1415题）考生只能选作一题14（5分）在平面直角坐标系中，若直线l1：（s为参数）和直线l2：（t为参数）平行，则常数a的值为4考点：直线的参数方程；参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：化两直线的参数方程为普通方程，求出它们的斜率，由斜率相等验证截距不等得答案解答：解：直线l1的参数方程为（s为参数），消去s得普通方程为x2y1=0，直线l2的参数方程为（t为参数），消去t得普通方程为2xaya=0，x2y1=0的斜率为k1=，2xaya=0的斜率k2=，l1l2，解得：a=4验证a=4时两直线在y轴上的
19、截距不等故答案为：4点评：本题考查了直线的参数方程，考查了两直线平行的条件，是基础题15（几何证明选做题） 如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P已知A=C，PD=2DA=2，则PE=考点：相似三角形的性质 专题：计算题；压轴题；转化思想分析：利用已知条件判断EPDAPE，列出比例关系，即可求解PE的值解答：解：因为BCPE，BCD=PED，且在圆中BCD=BADPED=BAD，EPDAPE，PD=2DA=2PE2=PAPD=32=6，PE=故答案为：点评：本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力三、解答题（共6小题，满分80分）16（13分）在A
20、BC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知bsinA=3csinB，a=3，（） 求b的值；（） 求的值考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦定理 专题：解三角形分析：（） 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（） 利用（）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值解答：解：（）在ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1由余弦定理可知：b2=a2+
21、c22accosB，即b2=32+1223cosB，可得b=（）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B1=，sin2B=2sinBcosB=，所以=点评：本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力17（13分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050（） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人请将其余各组抽取的人数填入下表
22、组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6（） 在（）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率考点：相互独立事件的概率乘法公式；分层抽样方法 专题：概率与统计分析：（）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（）利用古典概型概率计算公式求出A，B两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率解答：解：（）按相同的比例从不同的组中抽取人数从B组100人中抽取6人，即
23、从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993（）A组抽取的3人中有2人支持1好歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=点评：本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A，B是否发生相互独立，则p（AB）=p（A）p（B），是中档题18（13分）已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0，S5=5，（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和考点：
24、数列的求和 专题：函数的性质及应用分析：（1）设等差数列an的公差为d，利用等差数列的前n项和公式及其通项公式即可得出；（2）由于=，利用“裂项求和”即可得出解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，前n项和Sn满足S3=0，S5=5，解得a1=1，d=1an=1（n1）=2n（2）=，数列的前n项和=点评：本题考查了等差数列的前n项和公式及其通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（13分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，已知PB=PD=2，PA=（1）证明：PCBD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥EABC的体积考点：棱柱、棱锥、
25、棱台的体积；棱锥的结构特征 专题：空间位置关系与距离分析：（1）连接BD，AC交于O点，由已知得POBD，BDAC，从而BD面PAC，由此能证明BDPC（2）由VEABC=VBAEC，利用等积法能求出三棱锥EABC的体积解答：（1）证明：连接BD，AC交于O点，（1分）PB=PD，POBD，（2分）又ABCD是菱形，BDAC，（3分）而ACPO=O，BD面PAC，（5分）BDPC（6分）（2）解：由（1）知BD面PAC，（7分）=3，（9分）VEABC=VBAEC=（12分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养20（14分）已知椭圆C：+=1
26、（ab0）的左焦点F（1，0），离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P（1，0），Q（，0），过P的直线l交椭圆C于A，B两点，求的值考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：对第（1）问，由左焦点坐标，得c的值，由离心率，得a与c的关系，再根据a2=b2+c2，可得a2与b2；对第（2）问，先求解直线l的斜率不存在时，的值，当l的斜率存在时，设出直线l的方程及A，B的坐标，可得的表达式，联立直线l与椭圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由韦达定理，得x1+x2，x1x2，代入的表达式中，即可达到目的解答：解
27、：（1）设椭圆的焦距为2c，由左焦点F（1，0），得c=1，由离心率为，得，又a2=b2+c2，联立此三式，得a2=2，b2=1，故椭圆C的标准方程为（2）依题意，P（1，0），Q（，0），直线l过点P，若直线l的斜率不存在，则当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x1），点A（x1，y1），B（x2，y2），则，从而，=由，得（2k2+1）x24k2x+2k22=0，由韦达定理，得，故=点评：本题主要考查了椭圆标准方程的求解，直线与椭圆相交的位置关系等，求解时应考虑以下几点：求椭圆方程时，关键是寻找关于a，b，c的三个独立的方程，其中a2=b2+c2是已知的隐含条件对于向量问题，常用技巧
28、是：先将向量坐标化，转化为数量问题，再设法利用韦达定理进行整体代入求解21（14分）已知函数f（x）=x1+（aR，e为自然对数的底数）（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求a的值；（）求函数f（x）的极值；（）当a=1的值时，若直线l：y=kx1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（）依题意，f（1）=0，从而可求得a的值；（）f（x）=1，分a0时a0讨论，可知f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，从而可求其极值；（）令g（x）=f（x）（kx1）=
29、（1k）x+，则直线l：y=kx1与曲线y=f（x）没有公共点方程g（x）=0在R上没有实数解，分k1与k1讨论即可得答案解答：解：（）由f（x）=x1+，得f（x）=1，又曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，f（1）=0，即1=0，解得a=e（）f（x）=1，当a0时，f（x）0，f（x）为（，+）上的增函数，所以f（x）无极值；当a0时，令f（x）=0，得ex=a，x=lna，x（，lna），f（x）0；x（lna，+），f（x）0；f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值综
30、上，当当a0时，f（x）无极值；当a0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值（）当a=1时，f（x）=x1+，令g（x）=f（x）（kx1）=（1k）x+，则直线l：y=kx1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解假设k1，此时g（0）=10，g（）=1+0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k1又k=1时，g（x）=0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，所以k的最大值为1点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题
