1、上海市甘泉外国语中学2021-2022年高一下期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 和的等差中项是_.【答案】2【解析】【分析】根据等差中项的定义，即可求解.【详解】由等差中项的定义可知，和的等差中项是.故答案为：22. 若是角终边上一点，则_.【答案】#【解析】分析】由三角函数定义求角余弦值.【详解】由已知是角终边上一点，所以点到原点的距离为5，所以.故答案为：3. 已知向量，且，则_.【答案】或【解析】【分析】根据向量共线列方程，解方程即可.【详解】因为，所以，解得或4.故答案为：-1或4.4. 已知是方程的一个根，则实数的值为_.【答案】5【解析】【分析】将方
2、程的根代入方程求解即可.【详解】由题意知，整理得： ，解得，故答案为：5.5. 函数的最小正周期为_.【答案】【解析】【详解】由正切函数的周期公式得： 故答案为6. 设，则_.【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则进行化简得到，再由复数模的定义计算即可得出结果.【详解】由题意化简，则，故答案为：7. 已知等比数列满足:,则该数列的前项和_.【答案】【解析】【分析】根据已知条件求出公比,再利用等比数列的前项和公式求解即可.【详解】设等比数列的公比为,则,.故答案为:.8. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据正切与正弦、余弦的关系式，把分子分母同时除以余弦转化为正切关系，再代入求解.【详
3、解】因为，所以.故答案为：9. 中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_.【答案】等腰三角形【解析】【分析】利用正弦定理边角互化，由结合三角函数和差公式和角的范围即可得，即可得到结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，又在中,所以，所以即，由，故，则此三角形的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形10. 已知函数，若在区间上的最大值为，则m的最小值是_【答案】【解析】【分析】先将化为，由，得到，结合正弦函数图象可得，进而可解得结果.【详解】，当时， ，依题意，有，解得，即的最小值为.故答案为：11. 已知是复数的辐角主值，是向量和向量的夹角，则_.【答案】【解析】【分析】根据复数的三
4、角形式求出的值，根据向量的数量积求出，然后根据来求解.【详解】复数，可写成即，其中称为的辐角，在间的辐角称为辐角主值.又则，则.又因为是向量和向量的夹角,则,又因为，所以.则故答案为：12. 已知复数，满足(表示的共轭复数)，则_.【答案】【解析】【分析】由复数相等定义可得，根据即可求出结果【详解】由得所以，又所以则，则故答案为：二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13. 复数的共轭复数是(i为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先由求得，进而求得对应坐标，以及判断出对应的象限.【详解】由于，所以，对应
5、的坐标为，对应的坐标在第四象限.故选：D【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数对应坐标所在象限的判断，属于基础题.14. 若如图所对应的是某个函数的一部分图象，则此函数解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设出函数表达式，根据其图像，依次求出，计算可得函数图像过点，代入函数表达式可得，进而得到答案.【详解】设函数为，由函数图像可知，函数周期为，所以，所以，当时，函数取得最大值，即函数过，所以，解得即，时，所以.故选：A.15. 已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】C【解
6、析】【分析】根据，求出向量的关系，再利用必要条件和充分条件的定义，即可判定，得到答案【详解】由题意，函数，又为偶函数，所以，则，即，可得，所以，若，则，所以，则，所以函数是偶函数，所以“函数为偶函数”是“”的充要条件故选C【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，函数奇偶性的定义及其判定，以及充分条件和必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题16. 算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是A. 24B. 48C. 12
7、D. 60【答案】A【解析】【详解】由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设等比数列首项为，则有，解得该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为选A三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17. 中，角、所对的边分别为、，已知.（1）求边、的长度；（2）求的面积及其外接圆半径.【答案】（1） （2）；4【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理得出，然后利用正弦定理即可求解；(2)利用三角形面积公式和正弦定理即可求解.【小问1详解】因为，所以在中，由正弦定理得：，也即，所以；【小问2详解】由三角形的面积公式可得：的面积，由正弦定理可得：外接圆半径.18. 已知向量、的夹角为.
8、（1）求的值（2）若和垂直，求实数的值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义直接计算即可（2）利用可求实数的值【详解】（1）（2）因为和垂直，故，整理得到：即，解得【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量垂直的等价条件是，本题属于基础题19. 已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数).（1）求实数的值及复数的模；（2）若复数在复平面内所对应点在第二象限，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据复数的乘法运算算出，然后可得答案；（2）对进行运算化简，然后可得答案.【小问1详解】由题意得为纯虚数，所以，所以；【小问
9、2详解】，因为在复平面内所对应的点在第二象限，所以，所以.20. 在等差数列中，前12项的和.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列前8项的和.【答案】（1）； （2）3332.【解析】【分析】（1）根据已知求出，即得解；（2）求出，再利用分组求和求解【小问1详解】解：设公差为，因为，前12项的和，所以，解得，所以.【小问2详解】解：由题意得，所以，所以数列前8项的和为=.21. 已知函数，.（1）求函数的值域；（2）求函数严格增区间；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域；（2）由（1）可知，结合正弦函数的单调性，即可求解；（3）参变分离得恒成立；转化为求函数的最值.【小问1详解】因为，所以，所以，所以的值域为；【小问2详解】因为，又在上严格增，所以当时，严格增，解得 所以函数的严格增区间为；【小问3详解】因为，所以不等式等价于恒成立；即，因为，所以当时，有最大值；所以实数的取值范围为.
