《解析》2017年江苏省南通市高考数学四模试卷 WORD版含解析.doc

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1、2017年江苏省南通市高考数学四模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1已知集合A=x|1x1，B=x|0x2，则AB= 2设复数z=（2+i）2（i为虚数单位），则z的共轭复数为 3根据如图所示的伪代码，当输入x的值为e（e为自然对数的底数）时，则输出的y的值为 4甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为（选填“甲”或“乙”）5在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=75，B=45，c=3，则b= 6口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为 7在平面直角

2、坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y=x，且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，则该双曲线的方程为 8已知y=f（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，且当x（，0）时，f（x）=12x，则当x（0，+）时，f（x）的解析式为f（x）= 9一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 10如图，ABC中，M是中线AD的中点若|=2，|=3，BAC=60，则的值为 11已知数列an中，a1=1，a2=4，a3=10若an+1a

3、n是等比数列，则= 12已知a，bR，ab，若2a2abb24=0，则2ab的最小值为 13在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）在圆C：x2+y2+2mx2y+m24m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且PBC的面积是PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为 14设函数f（x）=（xa）|xa|x|x|+2a+1（a0，）若存在x01，1，使f（x0）0，则a的取值范围为二、解答题（共6小题，满分90分）15已知向量m（sin，1），=（1， cos），函数f（x）=urr（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（）=，求f（2+）的值16在四棱锥PABCD中，底

4、面ABCD为直角梯形，BAD=ADC=90，DC=2AB=2AD，BCPD，E，F分别是PB，BC的中点求证：（1）PC平面DEF；（2）平面PBC平面PBD17为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分），以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）景观湖的边界线符合函数y=x+（x0）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，PO=百米（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道P

5、Q最短18在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（ab0）的离心率为e，D为右准线上一点（1）若e=，点D的横坐标为4，求椭圆的方程；（2）设斜率存在的直线l经过点P（，0），且与椭圆交于A，B两点若+=，DPl，求椭圆离心率e19设区间D=3，3，定义在D上的函数f（x）=ax3+bx+1（a0，bR），集合A=a|xD，f（x）0（1）若b=，求集合A；（2）设常数b0讨论f（x）的单调性；若b1，求证：A=20已知数列an的各项均为正数，a1=1，前n项和为Sn，且an+12n21=2Sn，为正常数（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=，Cn=+（k，nN*，k2n+2）求证：b

7、伪代码，当输入x的值为e（e为自然对数的底数）时，则输出的y的值为1【考点】EA：伪代码【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=e，满足条件x0，即可求得y的值【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=e，满足条件x0，可得：y=lne=1故答案为：14甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为甲（选填“甲”或“乙”）【考点】BA：茎叶图【分析】根据茎叶图中的数据，分别计算出甲乙的平均数进行比较即可【解答】解：甲的平均数为（18+21+29+35+32）=27，乙的平均数为（19+23+27+33+35）=27，则平均数比较少的是甲

8、，故答案为：甲5在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=75，B=45，c=3，则b=2【考点】HP：正弦定理【分析】由三角形内角和定理可求角C，利用正弦定理即可求b的值【解答】解：A=75，B=45，c=3，C=180AB=60，由正弦定理可得：b=2故答案为：26口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数和出现“1只白球，1只黑球”包含的基本事件个数，由此能求出出现“1只白球，1只黑球”的概率【解答】解：口袋中有形状大小都

9、相同的2只白球和1只黑球先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，基本事件总数n=33=9，出现“1只白球，1只黑球”包含的基本事件个数m=21+12=4，出现“1只白球，1只黑球”的概率为p=故答案为：7在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y=x，且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，则该双曲线的方程为【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质【分析】清楚抛物线的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程求解双曲线方程即可【解答】解：抛物线x2=8y的焦点坐标（0，2），双曲线的渐近线方程为y=x，且它的一个焦点与抛物线x2=8y

10、的焦点重合，所以双曲线的实轴在y轴，双曲线设为y2x2=m，m0，解得m=2，所求的双曲线方程为：故答案为：8已知y=f（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，且当x（，0）时，f（x）=12x，则当x（0，+）时，f（x）的解析式为f（x）=1【考点】36：函数解析式的求解及常用方法【分析】利用奇函数的性质f（x）=f（x）得出【解答】解：若x（0，+），则x（，0），f（x）=12x=1，f（x）是奇函数，f（x）=f（x）=1，故答案为：19一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E

11、，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为6【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】设正三棱柱的底面积为S，可得其体积为8S，利用相似三角形面积的关系求得乙图中四棱柱的底面积，得其体积，可得图甲中的有水部分的高【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，则E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，即，则图甲中水面的高度为6故答案为：610如图，ABC中，M是中线AD的中点若|=2，|=3，BAC=60，则的值为【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】用表示出，再计算【解答】解：D是BC的中点， =（+），=，又M是AD的中点， =+， =（）=，=（+）（）=+2，|=2，|=3，BA

12、C=60，=4， =9， =23cos60=3，=+=故答案为：11已知数列an中，a1=1，a2=4，a3=10若an+1an是等比数列，则=32n2n3【考点】8E：数列的求和【分析】a2a1=41=3，a3a2=104=6，可得an+1an是等比数列，an+1an=32n1再利用an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）可得an，利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：a2a1=41=3，a3a2=104=6，an+1an是等比数列，首项为3，公比为2an+1an=32n1an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=1+3+32+32n2=1+3=32n12则=

13、2n=32n2n3故答案为：32n2n312已知a，bR，ab，若2a2abb24=0，则2ab的最小值为【考点】7F：基本不等式【分析】ab，2a2abb24=0，可得（2a+b）（ab）=4.2ab=，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：ab，2a2abb24=0，（2a+b）（ab）=4则2ab=，当且仅当2a+b=4（ab）=4，即a=，b=时取等号2ab的最小值为故答案为：13在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）在圆C：x2+y2+2mx2y+m24m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且PBC的面积是PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为，4）【考点】J

14、5：点与圆的位置关系【分析】由点P（0，1）在圆C内，得0m4，推导出圆心C（m，1）PB=2PA，设直线l的方程为：y=kx+1求出圆心C到直线l的距离，从而得到9m24m=10d2=10，由此能求出实数m的取值范围【解答】解：点P（0，1）在圆C：x2+y2+2mx2y+m24m+1=0内，12+m24m+10，解得0m4；又圆C化为标准方程是（x+m）2+（y1）2=4m，圆心C（m，1）；PBC的面积是PAC的面积的2倍，PB=2PA，设直线l的方程为：y=kx+1圆心C到直线l的距离d=3，可得：9m24m=10d2=10，9=0，10），解得：则实数m的取值范围为，4）故答案为：，

15、4）14设函数f（x）=（xa）|xa|x|x|+2a+1（a0，）若存在x01，1，使f（x0）0，则a的取值范围为3，2+【考点】3R：函数恒成立问题【分析】化简f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，讨论f（x）的单调区间与区间1，1的关系，求出f（x）在1，1上的最小值，令最小值小于或等于零解出a【解答】解：存在x01，1，使f（x0）0，fmin（x）0，x1，1当xa时，f（x）=（xa）（ax）+x2+2a+1=2axa2+2a+1，f（x）在（，a上单调递减；当ax0时，f（x）=（xa）2+x2+2a+1=2x22ax+a2+2a+1，f（x）在（a，）上单调递减，在（，0）

16、上单调递增；当x0时，f（x）=（xa）2x2+2a+1=2ax+a2+2a+1，f（x）在0，+）上单调递增（1）若1，即a2时，f（x）在1，1上单调递增，fmin（x）=f（1）=a2+4a+30，解得3a1，3a2；（2）若，即2a0时，f（x）在1，上单调递减，在（，1上单调递增，fmin（x）=f（）=+2a+10，解得2a2+，2a2+综上，a的取值范围是3，2+故答案为：3，2+二、解答题（共6小题，满分90分）15已知向量m（sin，1），=（1， cos），函数f（x）=urr（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（）=，求f（2+）的值【考点】9R：平面向量数量积的

17、运算；H1：三角函数的周期性及其求法【分析】（1）根据平面向量的数量积公式得出f（x）的解析式并化简，利用三角函数的周期公式得出；（2）由条件可得sin=，利用二倍角公式得出cos，根据诱导公式化简f（2+）即可得出【解答】解：（1）f（x）=sin+cos=2sin（+），f（x）的最小正周期T=4（2）f（）=2sin（）=，sin=，cos=12sin2=，f（2）=2sin（+）=2cos=16在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BAD=ADC=90，DC=2AB=2AD，BCPD，E，F分别是PB，BC的中点求证：（1）PC平面DEF；（2）平面PBC平面PBD【考点】L

18、Y：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）由中位线定理可得PCEF，故而PC平面DEF；（2）由直角梯形可得BCBD，结合BCPD得出BC平面PBD，于是平面PBC平面PBD【解答】证明：（1）E，F分别是PB，BC的中点，PCEF，又PC平面DEF，EF平面DEF，PC平面DEF（2）取CD的中点M，连结BM，则ABDM，又ADAB，AB=AD，四边形ABMD是正方形，BMCD，BM=CM=DM=1，BD=，BC=，BD2+BC2=CD2，BCBD，又BCPD，BDPD=D，BC平面PBD，又BC平面PBC，平面PBC平面PBD17为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百

19、米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分），以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）景观湖的边界线符合函数y=x+（x0）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，PO=百米（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短【考点】KE：曲线与方程【分析】（1）设M（x，x+），利用距离公式得出|OM|2关于x的函数，利用基本不等式求出最小值即可；（2）当直线PQ与湖边界相切时，通道最短，设出切线方程，与边界函数联

20、立，令=0即可得出切线方程，从而确定Q点的位置【解答】解：（1）设M（x，x+），则|OM|2=x2+（x+）2=2x2+22+2，当且仅当2x2=即x2=时取等号，|OM|的最短距离为（2）过P作函数y=x+的切线l，设切线l的方程为y=k（x）（k0），联立方程组，得（1k）x2+x+1=0，令=k24（1k）=0得k=3或k=（舍），直线l的方程为y=3（x），令y=5得x=，DQ=6=当|DQ|=时，通道PQ最短18在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（ab0）的离心率为e，D为右准线上一点（1）若e=，点D的横坐标为4，求椭圆的方程；（2）设斜率存在的直线l经过点P（，0），且与椭

21、圆交于A，B两点若+=，DPl，求椭圆离心率e【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆的离心率e=，a=2c，准线=4，即可求得a和c，则b2=a2c2=3，即可求得椭圆方程；（2）方法一：设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得D点坐标，由D的横坐标为，即可表示出D点坐标，即可求得直线PD的斜率，由kPDkAB=1，即可求得a和c的关系，即可求得椭圆离心率e；方法二：设D点坐标，求得直线PD的方程，利用点差法及向量的数量积，即可求得直线AB的斜率，由kPDkAB=1，即可求得a和c的关系，即可求得椭圆离心率

22、e【解答】解：（1）由椭圆的离心率e=，则a=2c，椭圆的右准线方程x=，由=4，则a2=4c，解得：a=2，c=1，b2=a2c2=3，椭圆的标准方程：；（2）方法一：设直线AB的方程：x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2），整理得：（a2+b2m2）y2+ab2mya2b2=0，y1+y2=，则x1+x2=m（y1+y2）+=，由+=，则=（x1+x2，y1+y2）=（，），则D（，），由D在椭圆的右准线上，则=，整理得3ac=2（a2+b2m2），D（，），则直线PD的斜率=，由DPl，则=m，整理得4b2=4a23ac，即3ac=4（a2b2）=4c2，则3a=4c，椭圆的离心

23、率e=，椭圆离心率e的值为方法二：设D（，y），P（，0），则直线DP的斜率kPD=，设A（x1，y1），B（x2，y2），由+=，则，则，两式相减，整理得： =，直线l的斜率kAB=，DPl，则kPDkAB=1，（）=1，整理得4b2=4a23ac，即3ac=4（a2b2）=4c2，则3a=4c，椭圆的离心率e=，椭圆离心率e的值为19设区间D=3，3，定义在D上的函数f（x）=ax3+bx+1（a0，bR），集合A=a|xD，f（x）0（1）若b=，求集合A；（2）设常数b0讨论f（x）的单调性；若b1，求证：A=【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）把b=代入函数解析式，

24、求出导函数，由f（x）=0，可知f（x）在3，3上为增函数，求出函数的最小值，由最小值大于0求得a的取值范围；（2）求出函数的导函数，解得导函数的零点，然后根据与3的关系分类求得函数的单调区间；当b1时，由可知，当0a时，f（x）在3，3上单调递减，求得函数的最小值小于0，这与xD，f（x）0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；当a时，由可得f（x）min=f（3），f（），若f（3）=27a3b+10，这与xD，f（x）0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；若f（3）=27a3b+10，证明f（）0，这与xD，f（x）0恒成立矛盾，故此时实数a不存在【解答】（1）解：当b=时，f（x）=，f（x）=

25、0，f（x）在3，3上为增函数，则=由，解得aA=a|xD，f（x）0=（0，；（2）解：f（x）=ax3+bx+1，f（x）=3ax2+b，a0，b0，由f（x）=3ax2+b=0，得0，则x=若27a+b0，则，则f（x）0在3，3上恒成立，f（x）在3，3上为减函数；若27a+b0，则当x3，）（，3时，f（x）0，当x（）时，f（x）0函数的增区间为3，），（，3，减区间为（）；证明：当b1时，由可知，当0a时，f（x）在3，3上单调递减，f（x）min=f（3）=27a+3b+1b+3b+1=2b+110，这与xD，f（x）0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；当a时，f（x）在3，），

26、（，3上递增，在（）上递减，f（x）min=f（3），f（），若f（3）=27a3b+10，这与xD，f（x）0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；若f（3）=27a3b+10，令，此时f（x1）=又f（x1）=，则f（x1）=下面证明，也即证4b327a，a，且27a3b+10，即27a3b+1再证4b33b+1，令g（b）=4b33b+1，则g（b）=12b230（b1），g（b）在（，1上单调递增，则g（b）g（1）=0即f（x1）0，这与xD，f（x）0恒成立矛盾，故此时实数a不存在综上所述，A=20已知数列an的各项均为正数，a1=1，前n项和为Sn，且an+12n21=2Sn，为正常数

27、（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=，Cn=+（k，nN*，k2n+2）求证：bnbn+1；CnCn+1【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和【分析】（1）a2n+1n21=2Sn，为正常数可得：n2时，（n1）21=2Sn1相减化为：an+1an=n=1时，1=2，解得a2=+1，因此a2a1=利用等差数列的通项公式可得：an=1+（n1）（2）由（1）可得：Sn=可得bn=，作差bn+1bn，化简即可得出Cn=+，（k，nN*，k2n+2）作差Cn+1Cn=利用其单调性即可得出【解答】（1）解：a2n+1n21=2Sn，为正常数n2时，（n1）21=2Sn1a2n+1n2+（n1）2=2an化为：an+1an=n=1时，1=2，解得a2=+1，因此a2a1=数列an是等差数列，公差为an=1+（n1）（2）证明：由（1）可得：Sn=bn=bn+1bn=0bn+1bnCn=+，（k，nN*，k2n+2）Cn+1Cn=+=k2n+2，n+1kn，nkn1由an0，0SnSkn1，又0bn+1bkn，Cn+1Cn0CnCn+12017年6月24日

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