1、第二章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.2椭圆的几何性质课后篇巩固提升必备知识基础练1.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,3D.4,23答案B解析由题意知a=2,b=3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍为3.2.(多选)已知椭圆x2a2+y2b2=1与椭圆x225+y216=1有相同的长轴,椭圆x2a2+y2b2=1的短轴长与椭圆y221+x29=1的短轴长相等,则下列结论不正确的有()A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9
2、,b2=25D.a2=25,b2=9答案ABC解析椭圆x225+y216=1的长轴长为10,椭圆y221+x29=1的短轴长为6,由题意可知椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,即有a=5,b=3.3.设椭圆C:x2a2+y24=1(a2)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=x+t交椭圆C于点A,B,若F1AB的周长的最大值为12,则C的离心率为()A.33B.53C.223D.59答案B解析F1AB的周长等于AB+AF1+BF1=AB+2a-AF2+2a-BF2=4a+AB-(AF2+BF2),因为AF2+BF2AB,当且仅当A,B,F2三点共线时等号成立,所以4a+AB-(AF2
3、+BF2)4a+AB-AB=4a,即F1AB的周长的最大值为4a,所以4a=12,解得a=3,由椭圆的方程可得b2=4,所以c=a2-b2=9-4=5,所以椭圆C的离心率为e=ca=53.4.(多选)如图,椭圆与有公共的左顶点和左焦点,且椭圆的右顶点为椭圆的中心.设椭圆与的半长轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1,e2,则下列结论正确的是()A.a1+c12(a2+c2)B.a1-c1=a2-c2C.a1c2a2c1D.e1=e2+12答案ABD解析由题图知,a1=2a2,c12c2,a1+c12(a2+c2),2a1c22a2c1,即a1c2b0)的左、右焦点,点P
4、为C上一点,O为坐标原点,POF2为正三角形,则C的离心率为.答案3-1解析如图,因为POF2为正三角形,所以|OF1|=|OP|=|OF2|,所以F1PF2是直角三角形.因为PF2F1=60,|F2F1|=2c,所以|PF2|=c.所以|PF1|2=|F1F2|2-|PF2|2=4c2-c2=3c2,所以|PF1|=3c.因为|PF2|+|PF1|=2a,所以c+3c=2a,即ca=23+1=3-1,所以e=3-1.6.若椭圆x2k+8+y29=1的离心率e=12,则k的值为.答案4或-54解析(1)若焦点在x轴上,即k+89时,a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=a2-b2a2=k-1
5、k+8=14,解得k=4.(2)若焦点在y轴上,即0k+8b0),椭圆C的面积为S=ab=20,又e=1-b2a2=45,解得a2=1003,b2=12,所以椭圆C的方程为y21003+x212=1.8.已知椭圆C:4x2+9y2=36.求椭圆的长轴长,焦点坐标和离心率.解椭圆C:4x2+9y2=36的标准方程为x29+y24=1,所以a=3,b=2,c=a2-b2=9-4=5,所以椭圆的长轴长2a=6,焦点坐标(-5,0),(5,0),离心率e=ca=53.9.(1)求与椭圆x29+y24=1有相同的焦点,且离心率为55的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别
6、是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.解(1)c=9-4=5,所求椭圆的焦点为(-5,0),(5,0).设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).e=ca=55,c=5,a=5,b2=a2-c2=20,所求椭圆的方程为x225+y220=1.(2)椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),2c=8,c=4,又a=6,b2=a2-c2=20.椭圆的方程为x236+y220=1.关键能力提升练10.已知椭圆x24+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为()A.1,2B.
7、2,3C.2,4D.1,4答案D解析根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,na-c,a+c,即m,n2-3,2+3,则1|PF1|+1|PF2|=1m+1n=4m(4-m)=4-(m-2)2+41,4.11.(2021全国乙,理11)设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|2b,则C的离心率的取值范围是()A.22,1B.12,1C.0,22D.0,12答案C解析由题意,点B(0,b).设P(x0,y0),则x02a2+y02b2=1,得x02=a21-y02b2,|PB|2=x02+
8、(y0-b)2=a21-y02b2+y02-2by0+b2=-c2b2y02-2by0+a2+b2,y0-b,b.由题意知当y0=-b时|PB|2最大,-b3c2-b,得b2c2,即a2-c2c2,离心率e=ca22,即e0,22.12.(多选)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,点P在椭圆C上,点Q在圆E:(x+3)2+(y-4)2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,若|PQ|-|PF|的最小值为25-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则下列说法正确的是()A.椭圆C的焦距为2B.椭圆C的短轴长为3C.|PQ|+|PF|的最小值为25D.过点F的圆E的切线斜率
9、为-473答案AD解析圆E的圆心为E(-3,4),半径长为2,由于椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则2a=4,可得a=2,设椭圆的左焦点为点F1,由椭圆的定义可得|PF|+|PF1|=2a=4,|PF|=4-|PF1|.|PQ|-|PF|=|PQ|-(4-|PF1|)=|PF1|+|PQ|-4|PF1|+|PE|-2-4|EF1|-6=25-6,当且仅当P,Q,E,F1四点共线,且当P,Q分别为线段EF1与椭圆C、圆E的交点时,等号成立,则|EF1|=(-3+c)2+(4-0)2=(c-3)2+16=25.0c2,则直线x=1与圆E相离,不合题意;若所求切线的斜率存在,可设切线的方程为y=
10、k(x-1),即kx-y-k=0,由题意可得|-3k-4-k|k2+1=4|k+1|k2+1=2,整理得3k2+8k+3=0,解得k=-473,D选项正确.13.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被点b2,0分成53的两段,则此椭圆的离心率为()A.1617B.41717C.45D.255答案D解析依题意得c+b2c-b2=53,即c=2b.a2-b2=c2,a=b2+c2=5b.e=ca=255.14.已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点,P是C上的任意一点,则|FP|称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A,B,若
11、存在以A为圆心,|FP|为半径的圆经过点B,则椭圆C的离心率的最小值为.答案3-12解析如图,|AB|=a2+b2,a-c|PF|a+c,由题意可得,a-ca2+b2a+c,不等式左边恒成立,则a2+b2a+c,两边平方整理得2e2+2e-10,解得e-1-32(舍)或e3-12.椭圆C的离心率的最小值为3-12.15.(1)计算:若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P(0,2),则kPA1kPA2=;若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P-5,43,则kPA1kPA2=;若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P1,-423,则kPA1kPA2=.
12、(2)观察,由此可得到:若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1kPA2=?并证明你的结论.解(1)由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(0,2),kPA1kPA2=2-00+32-00-3=-49.由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P-5,43,kPA1kPA2=43-03-543-0-3-5=-49.由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P1,-423,kPA1kPA2=-423-01+3-4231-3=-49.(2)若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)长轴的两个端点,P为椭圆
13、上任意一点,则kPA1kPA2=-b2a2.证明如下:设P(x0,y0).由题意kPA1=y0-0x0+a,kPA2=y0-0x0-a,则kPA1kPA2=y0-0x0+ay0-0x0-a=y02x02-a2.又P为椭圆上任意一点,满足x02a2+y02b2=1,得y02=b21-x02a2,代入可得kPA1kPA2=b21-x02a2x02-a2=-b2a2,得证.16.如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB=90,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程
14、.解(1)由F1AB=90及椭圆的对称性知b=c,则e=ca=c2a2=c2b2+c2=22.(2)由已知a2-b2=1,F2(1,0),A(0,b),设B(x,y),则AF2=(1,-b),F2B=(x-1,y),由AF2=2F2B,即(1,-b)=2(x-1,y),解得x=32,y=-b2,则94a2+b24b2=1,得a2=3,因此b2=2,椭圆的方程为x23+y22=1.17.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF2=60.(1)求椭圆的离心率的取值范围;(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.(1)解不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由余弦
15、定理得cos60=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|-|F1F2|22|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|=4a2-2|PF1|PF2|-4c2,所以3|PF1|PF2|=4b2,所以|PF1|PF2|=4b23.又因为|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=a2,所以3a24(a2-c2),所以ca12,所以e12.又因为椭圆中0e1,所以所求椭圆的离心率的取值范围是12,1.(2)证明由(1)可知|PF1|PF2|=43b2,SF1PF2=12|PF1|PF2|sin 60=1243b232=33b2
16、.所以F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.学科素养拔高练18.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦为的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则()A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=(m+R)(n+R)答案ABD解析椭圆的半长轴长为a,半短轴长为b,半焦距为c,则由题意可知a-c-R=m,a+c-R=n,可得a-c=m+R,所以A正确;a+c=R+n,所以B正确;可得a=m+n
17、2+R,c=n-m2,所以C不正确;b2=a2-c2=m+n2+R2-n-m22=(m+R)(n+R),则b=(m+R)(n+R),所以D正确.19.已知椭圆x2a2+y2b2=1的坐标原点为点O,有长轴上一端点坐标为(2,0),离心率e=32,过椭圆右焦点倾斜角为30的直线交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆的方程;(2)求三角形OAB的面积.解(1)由题意可知焦点在x轴上,则a=2,e=ca=32,c=3,由a2=b2+c2,解得b2=1,椭圆方程为x24+y2=1.(2)由题意可知右焦点(3,0),则直线方程为y=33(x-3),即y=33x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程代入椭圆方程整理得7x2-83x=0,由根与系数的关系x1+x2=837,x1x2=0,由弦长公式|AB|=1+138372=167,原点O到直线的距离为d=|1|1+332=32,OAB的面积S=12d|AB|=1232167=437.OAB的面积S=437.
