1、【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编6：数列一、填空题 （扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）如图所示:矩形的一边在轴上,另两个顶点、在函数的图像上,若点的坐标为),矩形的周长记为,则_.【答案】216 （南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）已知数列的通项公式为,数列的通项公式为.若将数列,中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列,则的值为_.【答案】961 （徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知是等差数列的前项和,若,则数列的前20项和为_.【答案】55; （镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）在等
2、比数列中,为其前项和,已知,则此数列的公比为_.【答案】 3; （江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）各项均为正数的等比数列中,若,则的取值范围是_【答案】 （2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在1和9之间插入三个正数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的和为_.【答案】 （镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）观察下列等式: =1-, +=1-, +=1-,由以上等式推测到一个一般的结论:对于nN*,+=_.【答案】 （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）过点作曲线:的切线,切点为
3、,设在轴上的投影是点,过点再作曲线的切线,切点为,设在轴上的投影是点,依次下去,得到第个切点.则点的坐标为_.【答案】 （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知实数a1,a2,a3,a4满足a1a2a3,a1a42a2a4a2,且a1a2a3,则a4的取值范围是_.【答案】 （江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）设,分别是等差数列,的前项和,已知,则_.【答案】 （苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）某厂去年的产值为1,若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从今年起到第五年这五年内,这个厂的总产
4、值约为_.(保留一位小数,取)【答案】6.6 （南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）若Sn为等差数列an的前n项和,S9=-36,S13=-104,则a5与a7的等比中项为_.【答案】答案:. 本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算. 法一 用性质.S9=9a5= -36,S13= 13a7= -104,于是a5= -4,a7= -8,等比中项为. 法二 用基本量.S9=9a1+36d= -36,S13=13a1+78d= -104,解得a1=4,d= -2.下同法一. （常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列满足,则=_. 【答案】 （江苏省无锡市2013届高三上
5、学期期末考试数学试卷）等差数列an的公差为-2,且a1,a3,a4成等比数列,则a20=_.【答案】 （南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知数列an的通项公式为an=-n+p,数列bn的通项公式为bn=2n-5.设cn=若在数列cn中,c8cn(nN*,n8),则实数p的取值范围是_.【答案】(12,17) （南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）在等差数列中, 若, 则其前9项和的值为 .【答案】27 （连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）正项等比数列an中,=16,则=_.【答案】4; （苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届
6、高三第二次调研考试数学试卷）已知等比数列的前项和为,若,则的值是_.【答案】 （南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）设数列是公差不为0的等差数列,S为其前n项和,若,则的值为_.【答案】9 （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）各项均为正数的等比数列中,.当取最小值时,数列的通项公式an=_.【答案】 （扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设数列an满足:,则a1的值大于20的概率为_.【答案】 （2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知数列的通项公式为,则数据,的方差为_.【答
7、案】8 （江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）若等比数列满足且(且),则的值为_.【答案】16 （扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）数列满足,且 =2,则的最小值为_. 【答案】 二、解答题（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）设数列的各项均为正数,其前项的和为,对于任意正整数,恒成立.(1)若,求,及数列的通项公式;(2)若,求证:数列成等比数列.【答案】 （江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知数列,其中(1)求满足=的所有正整数n的集合(2)n16,求数列的最大值和最小值(3)记数列的前n
8、项和为,求所有满足(mn)的有序整数对(m,n)【答案】(1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,当n15时,an+1=|bn|恒成立, 当n16时,n取偶数=1+ 当n=18时()max=无最小值 n取奇数时=-1- n=17时()min=-2无最大值 (ii)当n15时,bn=(-1)n(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) 0,其中a15b15+a16b16=0 S16=S14 m=7, n=8 （常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列是等差数列,数列是等比数列,. (1)若.求数列和的通项公式;(2)若是正整数且成等比数列,求的最大
9、值.【答案】解:(1)由题得,所以,从而等差数列的公差,所以,从而,所以 (2)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则,. 因为成等比数列,所以. 设, 则,整理得,. 解得(舍去负根). ,要使得最大,即需要d最大,即及取最大值., 当且仅当且时,及取最大值. 从而最大的, 所以,最大的 （2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知数列满足,.(1)求,猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明;(2)设,比较与的大小.【答案】 （徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数列满足:,.若,求数列的通项公式;设,数列的前项和为,证明:.【答案】若时
10、,所以,且. 两边取对数,得, 化为, 因为, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列 所以,所以 由,得, 当时, ,得, 由已知,所以与同号 因为,且,所以恒成立, 所以,所以 因为,所以, 所以 （南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为pn（1）求p1，p2的值；（2）求证：ABCDEF（第23题）【答案】解（1）p1，p2(1) 2分（2）因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn，故落在下底面顶点的概率为1pn于是移了n1次后棋子落
11、在上底面顶点的概率为pn+1pn(1pn)pn 4分从而pn+1(pn)所以数列pn是等比数列，其首项为，公比为所以pn()n1即pn 6分用数学归纳法证明：当n1时，左式，右式，因为，所以不等式成立当n2时，左式，右式，因为，所以不等式成立假设nk(k2)时，不等式成立，即则nk1时，左式要证，只要证只要证只要证只要证3k+12k26k2因为k2，所以3k+13(12)k3(12k4C)6k232k26k22k(2k3)12k26k2，所以来源:Z#xx#k.Com即nk1时，不等式也成立由可知，不等式对任意的nN*都成立 10分（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知数列an中,
12、a2=1,前n项和为Sn,且.(1)求a1;(2)证明数列an为等差数列,并写出其通项公式;(3)设,试问是否存在正整数p,q(其中1pq),使b1,bp,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.【答案】解:(1)令n=1,则a1=S1=0 (2)由,即, 得 . -,得 . 于是,. +,得,即 又a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列an是以0为首项,1为公差的等差数列. 所以,an=n-1 (3)假设存在正整数数组(p, q),使b1,bp,bq成等比数列,则lgb1,lgbp,lgbq成等差数列, 于是, 所以,(). 易知(p,q)=(
13、2,3)为方程()的一组解 当p3,且pN*时,0,故数列(p3)为递减数列, 于是0且k1)为等比数列;反之若数列an为等比数列,则数列(a0且a1)为等差数列. 第(3)问中,如果将问题改为“是否存在正整数m,p,q(其中mpk),都有+=2成立,求数列an的通项公式;(3)记bn=a (a0),求证:.【答案】解(1)设等差数列an的公差为d,则Sn=na1+d,从而=a1+d. 所以当n2时,-=(a1+d)-(a1+d)=.即数列是等差数列 (2)因为对任意正整数n,k(nk),都有+=2成立,所以+=2,即数列是等差数列 设数列的公差为d1,则=+(n-1)d1=1+(n-1)d1
14、,所以Sn=1+(n-1)d12,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=1+(n-1)d12-1+(n-2)d12=2dn-3d+2d1,因为an是等差数列,所以a2-a1=a3-a2,即(4d-3d+2d1)-1=(6d-3d+2d1)-(4d-3d+2d1),所以d1=1,即an=2n-1.又当an=2n-1时,Sn=n2,+=2对任意正整数n,k(nk)都成立,因此an=2n-1 (3)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d,bn=a,所以=a-=ad,即数列bn是公比大于0,首项大于0的等比数列 记公比为q(q0).以下证明:b1+bnbp+bk,其中p,k为正整数,且p+
15、k=1+n.因为(b1+bn)-(bp+bk)=b1+b1qn-1-b1qp-1-b1qk-1=b1(qp-1-1)( qk-1-1).当q1时,因为y=qx为增函数,p-10,k-10,所以qp-1-10,qk-1-10,所以b1+bnbp+bk.当q=1时,b1+bn=bp+bk.当0q0,数列an的前n项和Sn,且满足.()求Sn的通项公式;()设bk是Sn)中的按从小到大顺序组成的整数数列.(1)求b3;(2)存在N(NN+),当nN时,使得在Sn中,数列bk有且只有20项,求N的范围.【答案】 （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知数列是首
16、项为1,公差为的等差数列,数列是首项为1,公比为的等比数列.(1)若,求数列的前项和;(2)若存在正整数,使得.试比较与的大小,并说明理由.【答案】解:(1)依题意, 故, 所以, 令, 则, 得, , 所以 (2)因为, 所以,即, 故, 又, 所以 ()当时,由知 , ()当时,由知 , 综上所述,当时,;当时,;当时,. (注:仅给出“时,;时,”得2分.) 来源:学*科*网（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知数列an满足:.(1)若,求数列an的通项公式;(2)若,试证明:对,an是4的倍数.【答案】解:(1)当时,. 令,则.
17、因为奇数,也是奇数且只能为, 所以,即 (2)当时, 下面利用数学归纳法来证明:an是4的倍数. 当时,命题成立; 设当时,命题成立,则存在N*,使得, 来源:学科网, 其中, ,当时,命题成立. 由数学归纳法原理知命题对成立 （南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）若数列是首项为, 公差为6的等差数列;数列的前项和为.(1)求数列和的通项公式;(2)若数列是等比数列, 试证明: 对于任意的, 均存在正整数, 使得, 并求数列的前项和;(3)设数列满足, 且中不存在这样的项, 使得“与”同时成立(其中, ), 试求实数的取值范围.南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试
18、数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)【答案】解: (1)因为是等差数列,所以 而数列的前项和为,所以当时, , 又,所以 (2)证明:因为是等比数列,所以,即,所以 对任意的,由于, 令,则,所以命题成立 数列的前项和 (3)易得, 由于当时, ,所以 若,即,则,所以当时,是递增数列,故由题意得 ,即,解得, 若,即,则当时,是递增数列, 故由题意得,即,解得 若,即, 则当时,是递减数列, 当时,是递增数列, 则由题意,得,即,解得 综上所述,的取值范围是或 （镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知函数在区间上是增函数.(1)求实数的取值范围;(2)若数列满足,N
19、* ,证明.【答案】解:(1)函数在区间上是增函数. 在区间上恒成立, ,又在区间上是增函数 即实数的取值范围为 (2)先用数学归纳法证明. 当时,成立, 假设时,成立, 当时,由(1)知时,函数在区间上是增函数 , 即成立, 当时,成立 来源:学科网下证. . 综上 （苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知数列满足且(1)计算的值,由此猜想数列的通项公式,并给出证明;(2)求证:当时,徐州市20122013学年度高三第一次质量检【答案】,猜想: 当时,结论成立; 假设当时,结论成立,即, 则当时, 即当时,结论也成立,由得,数列的通项公式为 原不等式等价于.
20、证明:显然,当时,等号成立; 当时, , 综上所述,当时, （扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知数列的前项和为.()若数列是等比数列,满足, 是,的等差中项,求数列的通项公式;()是否存在等差数列,使对任意都有?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.来源:Zxxk.Com【答案】解:()设等比数列的首项为,公比为, 依题意,有即 由 得 ,解得或. 当时,不合题意舍; 当时,代入(2)得,所以, ()假设存在满足条件的数列,设此数列的公差为,则 方法1: ,得 对恒成立, 则 解得或此时,或. 故存在等差数列,使对任意都有.其中, 或 方法2
21、:令,得, 令,得, 当时,得或, 若,则,对任意都有; 若,则,不满足. 当时,得或, 若,则,对任意都有; 若,则,不满足. 综上所述,存在等差数列,使对任意都有.其中,或 （苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知且令且对任意正整数,当时,当时,(1)求数列的通项公式;(2)若对任意的正整数,恒成立,问是否存在使得为等比数列?若存在,求出满足的条件;若不存在,说明理由;(3)若对任意的正整数且求数列的通项公式.【答案】当时, 且, 所以, 来源:学科网又当时,且, , 因此,数列是以为首项,为公比的等比数列, 所以, 因为,所以,所以, , 假设存在,使得能
22、构成等比数列,则, 故,化简得,与题中矛盾, 故不存在,使得为等比数列 因为且,所以 所以 所以, 由知,所以 , , 所以, （扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设无穷数列满足:,.记.(1)若,求证:=2,并求的值;(2)若是公差为1的等差数列,问是否为等差数列,证明你的结论.数学II(附加题)【答案】【解】(1)因为,所以若,则矛盾, 若,可得矛盾,所以 于是,从而 (2)是公差为1的等差数列,证明如下: 时,所以, , 即,由题设,又, 所以,即是等差数列 （连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知数列an中,a2=a(a为非零常
23、数),其前n项和Sn满足:Sn=(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若a=2,且,求m、n的值;(3)是否存在实数a、b,使得对任意正整数p,数列an中满足的最大项恰为第3p-2项?若存在,分别求出a与b的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明:由已知,得a1=S1=0,Sn=, 则有Sn+1=, 2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,即(n-1)an+1=nan nN*, nan+2=(n+1)an+1, 两式相减得,2an+1=an+2+an nN*, 即an+1-an+1=an+1-an nN*, 故数列an是等差数列. 又a1=0,a2=a,an=(n
24、-1)a (2)若a=2,则an=2(n-1),Sn=n(n-1). 由,得n2-n+11=(m-1)2,即4(m-1)2-(2n-1)2=43, 来源:Z。xx。k.Com(2m+2n-3)(2m-2n-1)=43 43是质数, 2m+2n-32m-2n-1, 2m+2n-30, ,解得m=12,n=11 (III)由an+bp,得a(n-1)+bp. 若a0,则n+1. 不等式an+bp成立的最大正整数解为3p-2, 来源:Z#xx#k.Com3p-2+13p-1, 即2a-b(3a-1)p3a-b,对任意正整数p都成立. 3a-1=0,解得a=, 此时,-b01-b,解得b1. 故存在实
25、数a、b满足条件, a与b的取值范围是a=,b1 （苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）设数列的前项和为,满足().(1)若,求证数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)已知数列是等差数列,求的值.【答案】 （南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）已知数列的各项都为正数,且对任意,都有(k为常数).(1)若,求证:成等差数列;(2)若k=0,且成等差数列,求的值;(3)已知(为常数),是否存在常数,使得对任意都成立?若存在.求出;若不存在,说明理由.【答案】 （2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知等差数列的公差不为零,
26、且,.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,求满足的所有正整数的集合.【答案】 （常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）空间内有个平面,设这个平面最多将空间分成个部分. (1)求 ;(2)写出关于的表达式并用数学归纳法证明.【答案】解:(1); (2).证明如下: 当时显然成立, 设时结论成立,即, 则当时,再添上第个平面,因为它和前个平面都相交,所以可得 条互不平行且不共点的交线,且其中任3条直线不共点,这条交线可以把第个平面划最多分成个部分,每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此,空间区域的总数增加了个, , 即当时,结论也成立. 综上,对,. 来源:学*科*网
