1、2020-2021学年山东省济宁市邹城市高三（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. B分析：先利用一元二次不等式的解法化简集合B，再利用交集的运算求解.解答：，.故选：B.2. 在复平面内，复数（i为虚数单位）对应点的坐标为（ ）A. B. C. D. A分析：先利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再利用复数的几何意义求解.解答：因为，所以复数z对应点的坐标为，故选：A.3. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. C分析：特称命题否定为全称命题即可解答：命题“”的否定是：“”.故选：C.4. 人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度
2、的等级，强度为x的声音对应的等级为（dB）.听力会受到严重影响的声音约为90dB，室内正常交谈的声音约为60dB，则听力会受到严重影响的声音强度是室内正常交谈的声音强度的倍数为（ ）A. B. C. 3D. A分析：分别把90dB，60dB代入函数中求出对应的，然后两个相比可得结果解答：听力会受到严重影响的声音约为90dB，得，室内正常交谈的声音约为60dB，得，故选：A.5. 已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形B分析：根据条件，利用正弦定理化为三角函数，由三角恒等变换即可求解解答：
3、已知中，满足，利用正弦定理整理得：，转换为，故，整理得，与三角形的内角相矛盾，故，整理得：，解得故直角三角形，故选：B6. 已知定义在R上的函数满足当时，不等式恒成立，若，则a，b，c大小关系为（ ）A. B. C. D. D分析：依题意可得函数在R上为减函数，再根据指数、对数的性质比较自变量的大小即可；解答：解：根据题意，函数满足当时，不等式恒成立，则函数在R上为减函数，因为，即，又所以即，故选：D.7. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要最少移动的次数，数列满足，且，则解下5个环所
4、需要最少移动的次数为（ ）A. 7B. 10C. 16D. 31C分析：根据求即可.解答：因为数列满足，且，所以,.故选：C.8. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，有，则不等式的解集为（ ）A. B. C D. D分析：令，根据已知条件可得为偶函数且在上是增函数，故可求解不等式.解答：是定义在R上的奇函数，则，令，则，为上的偶函数，又当时，在上是增函数，在上是减函数；又，当时，不等式即为，即，当时，不等式即，即，当时，不等式不成立；综上，不等式的解集是，故选：D.点拨：方法点睛：解函数不等式，需要根据函数与导函数的关系式合理构建新函数，再根据新函数的性质求出前者的解.二、多项选择题（共
5、4个小题）9. 若a，b是正实数，则的充要条件是（ ）A. B. C. D. AD分析：利用充分必要条件的定义逐项判断即可解答：若a，b是正实数，由，可得：，反之，可得；故是的充要条件，故A正确；由，可得：，反之，由可得或.是既不充分也不必要的条件，故B错误；由在不是单调函数，故由推不出，反之，也推不出；故，是既不充分也不必要的条件，故C错误；令，可得：函数在上单调递增，即.反之：由，即；故是充要的条件，故D正确；因此，若a，b是正实数，的充要条件为：，.故选：AD.10. 分析给出的下面四个推断，其中正确的为（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则AB分析：对于A，B利用基本不
6、等式判断即可，对于C，举反例即可判断；对于D，不满足基本不等式的条件解答：选项A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，即选项A正确；选项B，因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，即选项B正确；选项C，当时，即选项C错误；选项D，当时，不适用于基本不等式，即选项D错误.故选：AB.11. 设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，且，下列结论正确的是（ ）A. B. C. 数列无最大值D. 是数列中的最大值ABD分析：由，结合，得到，再由得到，然后逐项判断.解答：根据题意，等比数列的公比为q，若，则，又由，必有，则数列各项均为正值，若，必有，则必有，依次分析选项：对于A，数列各
7、项均为正值，则，必有，A正确；对于B，若，则，B正确，对于C，根据，可知是数列中的最大项，C错误；对于D，易得D正确，故选：ABD.点拨：关键点点睛：本题关键是由条件结合，确定公比，明确数列单调性.12. 已知在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，设关于x，y的表达式分别为，则下列结论正确的是（ ）A. 在上单调递增B. 函数的最小正周期为C. 是函数的一个极值点D. 函数的最大值为BCD分析：由三角函数的定义可得，根据三角函数的性质可判断A，B，C，由函数导数判断单调性求最值可判断D.解答：由题意，根据三角函数的定义可知，对于A，函数在上单调
8、递减，故A错误；对于B，函数，最小正周期为，故B正确；对于C，函数，则为最大值，故是函数的一个极大值点，故C正确；对于D，函数，则，令，可得，令，可得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，当，即，时，函数取得极大值为，又当，即，时，所以函数的最大值为，故D正确.故选：BCD.点拨：关键点点睛：理解三角函数的定义得到和的解析式，熟练掌握三角函数的性质以及运用导数求函数的最值.三、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知，则_.分析：利用两角和公式化简已知等式，求出，再由二倍角公式求值即可解答：， ，故答案为：.14. 若函数满足，则_.1分析：根据，分别令，求解.解答：因为
9、，令可得：，令可得：，联立可得：，故答案为：1.15. 如图所示，在中，P是BC上一点，且满足，则实数_；_. (1). (2). 分析：由于三点共线，所以，得，所以，由于，所以将作为基底，而，所以，代值可得结果解答：，终点共线，又，代入式，计算得：.故答案为：，.点拨：关键点点睛：本题考查了向量共线的应用，平面向量基本定理的应用以及数量积的计算，属于典型的向量综合题，难度适中，解题的关键是将作为基底，把用基底表示出来16. 已知函数，若函数有（）有三个不同的零点，且，则的取值范围是_.分析：作出函数的图象如图所示，观察图形可得的取值范围即为m的取值范围，满足函数与函数的图象有三个交点即可.解
10、答：作出函数的图象如图所示，依题意，则，的取值范围即为m的取值范围，要使函数有（）有三个不同的零点，则需函数与函数的图象有三个交点，由图象可知，是一个临界值，此时，解得，显然满足条件的实数m的取值范围为.故答案为：.点拨：关键点睛：本题考查函数零点与方程根的关系，解题的关键是利用数形结合的思想，将题目转化为函数与函数的图象有三个交点.四、解答题（共6小题，满分70分）17. 已知向量，.（1）若，求实数k的值；（2）若，求的最小值.（1）；（2）3.分析：（1）根据向量平行表示出坐标关系即可求出；（2）由向量垂直可得，由此可将化为利用基本不等式求解.解答：（1）向量，若，则，求得.（2）若，则
11、，即，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3.点拨：关键点睛：本题考查向量平行垂直的坐标表示，考查基本不等式的应用，解题的关键是得出，将化为.18. 问题：在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，_，求：（1）角B的大小；（2）边c的长.从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.；.选：（1）；（2）2；选：（1）；（2）2；选：（1）；（2）2.分析：若选：（1）由，利用辅助角法结合三角函数的性质求解； （2）由，可得，再利用余弦定理求解；.若选：（1）根据，利用二倍角的正弦公式求解；（2）由，可得，再利用余弦定理求解；.若选：（1）根据，化简得到求解；（2）由
12、，可得，再利用余弦定理求解；.解答：若选：（1）由，可得，即，因为，可得，解得.（2）由于，利用正弦定理可得，由余弦定理，可得，解得.若选：（1）由于，可得，因为，可得，可得，即，（2）由于，利用正弦定理可得，由余弦定理，可得，解得.若选：（1）由于，可得，即，因为，可得.（2）由于，利用正弦定理可得，由余弦定理，可得，解得.点拨：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考
13、虑两个定理都有可能用到.19. 已知函数的部分图象，如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，当实数m取最大值时，求函数在的值域.（1）；（2）.分析：（1）由振幅可得，由函数的零点可得，再结周期公式可得的值，根据五点法作图可得，可得的值；（2）由三角函数图像变换规律可得，由于函数在上单调递增，可得，从而可得m的最大值为，然后求在上的值域即可解答：（1）根据函数的部分图象，可得，所以.再根据五点法作图可得，所以，.（2）将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上
14、各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，因为函数在上单调递增，所以，m的最大值为，由，可得，所以，所以，所以函数在的值域为.点拨：关键点点睛：本题主要考查由函数部分图象求解析式，考查了正弦函数的单调性和值域，解题的关键熟练运用三角数图像变换规律，属于中档题.20. 已知在数列、中，.（1）设数列的前项和为，若，求和：；（2）若数列为等差数列，且公差，.求证：.（1）；（2）证明见解析.分析：（1）当时，由可得出两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，可求得数列的通项公式，再利用等比数列的前项和公式可求得；（2）计算得出，利用裂项求和法可证得所证不等式成立.解答：（1）当
15、时，又，两式相减可得，化为，可得是首项为，公比为的等比数列，则，所以，则；（2）证明：若数列为等差数列，且公差，可得，则，因为，所以，则.点拨：方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.21. 过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成，到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超
16、过全球其他国家过去30年脱贫人口的总和，2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组计划对甲、乙两个项目共投资100万元，并且规定每个项目至少投资20万元.依据前期市场调研可知：甲项目的收益（单位：万元）与投资t（单位：万元）满足；乙项目的收益（单位：万元）与投资t（单位：万元）的数据情况如表：投资t（万元）305090收益（万元）设甲项目的投入为x（单位：万元），两个项目的总收益为（单位：万元）.（1）根据上面表格中的数据，从下面四个函数中选取一个合适的函数描述乙项目的收益（单位：万元）与投资t（单位：万元）的变化关系：；，其
17、中，并求出该函数；（2）试问如何安排甲、乙这两个项目的投资，才能使总收益最大.（1）函数；（2）甲项目投资80万元，乙项目投资20万元.分析：（1）由表格中的数据，可知函数不单调，所以选表示乙项目的收益与投资t的函数关系，然后将表中的数据代入中，解方程组求出即可；（2）设甲项目投资x万元，则乙项目投资为万元，由，得，则，令，然后利用导数求其最大值解答：（1）由表格中的数据，可知函数不单调，均为单调函数，由函数表示乙项目的收益与投资t的函数关系.把，代入，得，解得.；（2）设甲项目投资x万元，则乙项目投资为万元，由，得，.令，对任意恒成立，可得在上单调递增，则当时，有最大值为1160万元.故对甲
18、项目投资80万元，乙项目投资20万元，才能使总收益最大.点拨：关键点点睛：本题考查函数模型的选择及应用，考查利用待定系数法求函数解析式，训练了利用导数求最值，是中档题，解题的关键是从表中的数据正确选择函数关系式22. 已知函数 (1)判断函数在上的单调性(2)若恒成立，求整数的最大值(3)求证：（1）函数在上为减函数 （2）整数的最大值为3 （3）见解析分析：（1）由导数的应用，结合，得函数在上为减函数；（2）原命题可转化为即恒成立，即，再构造函数，利用导数求其最小值即可；（3）由（2）知，令，再求和即可证明不等式，得解.解答：解：（1）因为，所以，又因为 ，所以，所以 ，即函数在上为减函数；（2）由恒成立，即恒成立，即，设， 所以，令，则，即在为增函数，又 ，即存在唯一的实数根，满足，且，当时，当时，即函数在为减函数，在为增函数，则，故整数的最大值为3；（3）由（2）知，令，则 ，则=，故.点拨：本题考查了利用导数判断函数的单调性、构造函数求解不等式恒成立问题及利用证明的结论证明不等式，属综合性较强的题型.
