1、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥BAB1C的体积为()A B C D【解析】选D.SABCh3.【加固训练】 把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体则所有小正方体的表面积为_【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1a26a2，所以27个小正方体的表面积是a22718a2.答案：18a22如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()A B C D【解析】选C.因为VCABCV柱，所
2、以VCAABB1.3正方体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A，C，B1，D1为顶点的正三棱锥的表面积为4，则该正方体的棱长为()A B2 C4 D2【解析】选A.设正方体棱长为a，侧面的对角线长为a，所以正三棱锥ACB1D1的棱长为a，其表面积为4(a)24，可得a22，即a.4三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为()A111 B112C124 D144【解析】选C.如图，设棱台的高为h，SABCS，则4S.所以SABChSh，hSh.又h(S4S2S)Sh，所以ShSh.所以体积比为124.二、填空题(每小题5分，共10
3、分)5(2021新乡高一检测)如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为_【解析】设正四棱柱的底面边长为m，则4(42m2)60，解得m1，所以该几何体的表面积为：424(4212)2414110.答案：1106已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，则这个长方体的体积为_【解析】设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)26，故长方体的体积Vabc.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积【解析】正四棱台的
4、大致图形如图所示，其中A1B110 cm，AB20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形因为S侧4(1020)EE1780(cm2)，所以EE113 cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15 cm，OEAB10 cm，所以O1O12(cm).所以该正四棱台的体积为V12(1022021020)2 800(cm3).8如图，组合体下面是一个直三棱柱A1B1C1为等腰直角三角形，BCCE2.上面是一个三棱锥，且三棱锥的高AE3，三棱柱的高A1E3，求组合体的表面积和体积【解析】下面是一个直三棱柱，由题意可
5、知S底222，S侧面32323126，上面是一个三棱锥，除底面BCE外的表面积S13232233，所以S表S底S侧面S1179.VV三棱锥V三棱柱2323268.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为()A B C2 D【解析】选D.因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCBE1F1C1B1的体积VS梯形EFCB3SABC3SABC.设甲中水面的高度为h，则S
6、ABChSABC，解得h.2(多选题)长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则()A长方体的表面积为20B长方体的体积为6C沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3D沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2【解析】选BC.长方体的表面积为2(323121)22，A错误长方体的体积为3216，B正确如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，BB11.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形，如图所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1，即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是；如图所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1
7、D1展开，则有AC13，即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3；如图所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC12，即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.因为32，所以沿长方体表面从A到C1的最短距离是3，C正确，D不正确二、填空题(每小题5分，共10分)3学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作
8、该模型所需原料的质量为_g.【解析】S四边形EFGH4642312(cm2)，V664123132(cm3).mV0.9132118.8(g).答案：118.84如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为_【解析】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是两个底面边长为2，高为2的四棱锥组成；则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和又四棱锥的侧棱长为l2，所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积为：S822sin 6016.答案：16三、解答题(每小题10分，共20分)5如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO3，求此正三棱锥的表面积
9、【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点O作OEAB，与AB交于点E，连接SE，则SEh.因为S侧2S底，所以3aha22.所以ah.因为SOOE，所以SO2OE2SE2.所以32h2.所以h2，所以ah6.所以S底a2629，S侧2S底18.所以S表S侧S底18927.6已知正三棱锥SABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm，底面边长为12 cm，内接正三棱柱的侧面积为120 cm2.(1)求正三棱柱的高(2)求棱柱上底面截得的棱锥与原棱锥侧面积之比【解析】(1)如图，设正三棱柱高为h，底面边长为x，则，所以x(15h).又S三棱柱侧3xh120.所以xh40.解得或故正三棱柱的高为10 cm或5 cm.(2)由棱锥的性质得或.
