1、 数学（理科）第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则等于（ ）A1 B C D22.在方程为参数）所表示的曲线上的点是（ ）A B C D(1,0)3.设公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则等于（ ）A B C7 D144.将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的一个增区间是（ ）A B C D5.使“ab”成立的一个充分不必要条件是（ ）A B C D6.下列函数：；中，在上是增函数且不存在零点的函数的序号是（ ）A B C D7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三
2、棱锥的俯视图的面积为（ ）A12 B10 C8 D68.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A336 B510 C1326 D3603第卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.展开式中的系数等于_.10.已知向量，且，则实数x等于_.11.若双曲线的一条渐近线方程是，则它的离心率等于_.12.为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数，
3、众数为，平均数为，则，之间的大小关系是_.13.已知AB是圆O的直径，AB=1，延长AB到C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则CD等于_，ABD的面积等于_.14.已知函数，若在其定义域内存在个不同的数，使得，则n的最大值是_；若，则的最大值等于_.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB=4，.（1）求sinB；（2）若AB=4AD，求CD的长.16.（本小题满分12分）2015年，中国社科院发布中国城市竞争力报告，公布了中国十佳宜居城市和中国十佳最美丽城市，见下表：（1）记“中国
4、十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得到的平均数分别为与，方差分别为与，试比较与，与的大小；（只需写出结论）；（2）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率；（3）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个城市进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ADCD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点.（1）求证：AM平面PCD
5、；（2）求证：平面ACM平面PAB；（3）若PC与平面ACM所成角为30，求PA的长.18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当a0时，判断函数零点的个数.（只需写出结论）.19.（本小题满分14分）已知椭圆的长轴长为，右焦点F(1,0)，过F作两条互相垂直的直线分别交椭圆G于点A，B和C，D，设AB，CD的中点分别为P，Q.（1）求椭圆G的方程；（2）若直线AB，CD的斜率均存在，求的最大值，并证明直线PQ与x轴交于定点.20.（本小题满分13分）数列是由1,2,3，.，2016的一个排列构成的数列，设任意m个相邻项的和构成集合B，
6、即.（1）若m=8，求B中元素的最大值；（2）下列两种情况下，集合B能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列，若不能，说明理由.；.（3）对于数列，若m=8，记B中元素的最大值为S，试求S的最大值.北京市大兴区2016年高三统一练习高三数学（理科）参考答案一、选择题：BCCCAADB二、填空题9.10 10.9 11. 12. 13. 14.三、解答题15.解：（1）因为，所以，由正弦定理知，即，解得.（2）因为AB=4且AB=4AD，所以AD=1.因为，所以，即，（2）记选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”为事件A，由已知，既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个
7、：深圳，惠州，信阳，烟台.所以.（3）X=0,1,2，则X的分布列为X012P.17.（1）证明：取PC中点N，连接NM，ND，因为M为PB的中点，N为PC的中点，所以MNBC且，因为ADBC且，所以MNAD且MN=AD，所以AMND为平行四边形，所以AMND.又因为AM平面PCD，DN平面ABCD，所以AM平面PCD.（2）证明：因为PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.因为AD=CD=1，ADCD，所以，因为ABC中，ACB=45，BC=2，所以.因为，所以CAB=90，所以ACAB，又因为PAAB=A，所以AC平面PAB，又因为AC平面ACM，所以平面ACM平面PAB.（3）
8、过C作KCPA，则KC平面ABCD.因为CD，CB，CK两两垂直，如图建立空间直角坐标系C-xyz，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,2,0),设P(1,1,a)(a0)，则，设平面ACM的法向量为，则即设x=1，则y=-1，所以，设直线PC与平面ACM所成角为，则，解得，所以.18.解：（1）当时，所以切线方程为y+3=0.（2）的定义域：，令，当a0时，令，得0x1，的增区间为(0,1)，的减区间为.当时，恒成立，在上单调递增，当时，0x1或，所以的增区间为，的减区间为.（3）当a0时，零点的个数为1.19.解：（1）由题意，c=1，所以，所以，所以椭圆G的方程为.（2）证明：
9、F（1,0），由题意设直线AB的方程为y=k(x-1)(k0）由，消元得，设，则，所以AB的中点P的坐标为，又由题意直线CD的方程为，同理可得CD的中点Q的坐标为，所以.当且仅当，即时，有最大值.又当直线PQx轴时，即时，这时直线PQ的方程为，恒过定点.当直线PQ有斜率时，直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为，令y=0，得，恒过定点，综上所述，直线PQ恒过定点.20.解：（1）B中元素的最大值x=2016+2015+2014+2013+2012+2011+2010+2009=16100.（2）数列：2016,1,2015,2,2014,3，.，1009,1008能使集合B只有一个元素，这时=
10、(2017-(4k+1)+2-17-(4k+2)+2017-(4k+3)+2017-(4k+4)+(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4)=20174=8068，所以.当m=3，n=3k，k=0,1,2,.,671时，没有这样的数列使集合B只有一个元素.证明：假设存在一个数列使集合B只有一个元素，由题意，数列中的2016个数分为672段，每段和都相等，设和为T，则有，所以，与T是整数矛盾，假设不成立.当时，没有这样的数列使集合B只有一个元素.（3）S的最小值为8068.由题意，所以，即.要求所有S中的最小值，我们构造这样的数列设任意相邻8项的和为，则=(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(2017-n-1)+(2017-n-2)+(2017-n-3)-(2017-n-4)=20164=8064(n=1,2,.,1004)或=8064+(2017-n)-(2017-n-4)=8068，(n=1,2,.,1005),所以，即对这样的数列，S=8068，又因为，所以S=8068.
