1、高考资源网（） 您身边的高考专家北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学理科试卷3第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知全集，集合，则= （A） （B） （C） （D）正视图11（2）设，那么“”是“”的 （A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件（C）充分必要条 （D）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视 图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为 （A） 8 （B） 4 （C） （D）（4）已知随机变量服从正态分布，且，则实数 的值为 （A）1
2、（B） （C）2 （D）4（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（A）120个 （B）80个 （C）40个 （D）20个（6）点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 （A） （B） （C）2 （D）（7）已知棱长为1的正方体中，点，分别是棱，上的动点，且设与所成的角为，与所成的角为，则的最小值（A）不存在 （B）等于60 （C）等于90 （D）等于120 （8）已知点是的中位线上任意一点，且，实数，满足设，的面积分别为， 记，则取最大值时，的值为（A
3、） （B） （C） 1 （D）2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. （9）已知复数满足，则 .（10）曲线：（为参数）的普通方程为 .（11）曲线与轴所围成的图形面积为_.(12)已知数列满足，且，则 ；并归纳出数列的通项公式 .(13)如图，与圆相切点，为圆的割线，并且不过圆心， 已知，则 ；圆的 半径等于 (14)已知函数，且，则对于任意 的，函数总有两个不同的零点的概率是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）已知函数 . （）求函数的最小正周期及
4、函数的单调递增区间；（）若，求的值.（16）（本小题满分13分）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.（）求该产品不能销售的概率；（）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E(X).（17）（本小题满分13分）在长方形中，分别是，的中点（如图1）. 将此长方形沿对折，使二面角为直二面
5、角，分别是，的中点（如图2）.（）求证：平面；（）求证：平面平面； （）求直线与平面所成角的正弦值.图（1）图（2）C1BACAAA1B12ABACAADAEAA1B12AC1(18)（本小题满分13分）设函数，.（）若，求函数在上的最小值；（）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；（）求函数的极值点.(19)（本小题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为过点的直线与椭圆交于不同的两点（）求椭圆的方程；（）求的取值范围；（）设直线和直线的斜率分别为和，求证:为定值(20)（本小题满分14分）对于正整数，存在唯一一对整数和，使得，. 特别地，当时，称能整除，记作，已知.（）存在，使得，试
6、求的值；（）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；（）若，（指集合B 中的元素的个数），且存在，则称为“和谐集”. 求最大的，使含的集合的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.参考答案1. D【解析】分别把两个集合表示为，所以， 2. B【解析】 当时成立，若，则出现和两种情形.3. C【解析】侧视图应为矩形，高为，宽为因此侧视图的面积为4. A 【解析】由可知 5. C【解析】分四种情形处理，当中间数依次分别为时，相应“伞数”的个数分别为所以6. D 【解析】点到点的距离与到直线的距离和转化为点到点的距离与点到焦点的距离和，显然最小值为7. C【解析】在上取一点，使，连
7、结，则，同理可判断.在中，所以，所以因此 【易错点拨】在判断与所成的角、所成的角时不能从图形直接判断为相等是本题解答的一个障碍，由三角函数值确定角也是较为容易出错的地方。此外若采用空间坐标运算还可能出现坐标的确定有误.8. A【解析】，时取等号，此时点为的中点，所以，因此9. 【解析】把两边同乘以，则10. 【解析】，则11. 【解析】先求曲线与轴的交点分别为所以 【易错点拨】积分的上下限的确定是解题的关键，被积函数的“还原”是难点.12. 【解析】由 ，得。 可变形为，则为等比数列，首项为，公比为，所以 13. .【解析】由得作直径交于，则.易求得所以14. 【解析】，因为该函数总有两个不同
8、的零点，所以恒成立只需要所以15. 【解析】 . （）函数的最小正周期. 令， 所以.即.所以，函数的单调递增区间为 . （）解法一：由已知得， 两边平方，得 所以 因为，所以.所以. 解法二：因为，所以. 又因为，得 . 所以. 所以， . 16. 【解析】（）记“该产品不能销售”为事件A，则.所以，该产品不能销售的概率为. （）由已知，可知X的取值为. ， ，. 所以X的分布列为X-320-200-8040160P E(X) 所以，均值E(X)为40. 17. 【解析】解法一：（）证明：取的中点，连接，.因为，分别是，的中点， 所以是的中位线. 1分 所以，且. 又因为是的中点，所以. 所
9、以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以. 又平面，平面， 所以平面. （）证明：因为，且，所以平面. 因为, 所以平面. 因为平面，所以. 又，且是的中点，所以. 因为，所以平面. 由（）知. 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. （）解：由已知，将长方形沿对折后，二面角为直二面角，因为在长方形中，分别是，的中点， 所以，. 所以是二面角的平面角. 所以. 所以. 又， 所以平面，即平面. 所以. 其中，所以. ， 设点到平面的距离为， 所以，即. 设直线与平面所成角为， 所以.所以直线与平面所成角的正弦值为. zAxAyAAA1CAEAC1DABAB12A解法二：（）证明：由已知，将长
10、方形沿对折后，二面角为直二面角，因为在长方形中，分别是，的中点， 所以，. 即是二面角的平面角.所以. 所以. 所以两两垂直. 以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 1分 因为，且，分别是，的中点，所以，. 所以，. 设平面的法向量为， 所以 所以令，则，. 所以. 又因为. 所以. 又因为平面， 所以平面. （）证明：由（）知 ，.设平面的法向量为，所以 所以 令，则，所以. 由（）知，平面的法向量为. 所以. 所以. 所以平面平面. （）解：由（）知，. 所以.又由（）知，平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，则 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 【解析】（）的定义域
11、为. 因为，所以在上是增函数，当时，取得最小值.所以在上的最小值为1. （）解法一：设， 依题意，在区间上存在子区间使得不等式成立. 注意到抛物线开口向上，所以只要，或即可.由，即，得，由，即，得，所以，所以实数的取值范围是. 解法二：， 依题意得，在区间上存在子区间使不等式成立.又因为，所以. 设，所以小于函数在区间的最大值.又因为，由解得；由解得. 所以函数在区间上递增，在区间上递减.所以函数在，或处取得最大值.又，所以，所以实数的取值范围是. （）因为，令显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点； 当时， （）当，即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点； （）当，即时，易
12、知，当时，这时；当或时，这时；所以，当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点. 综上，当时，函数没有极值点；当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点. 19. 【解析】（）由题意得 解得，故椭圆的方程为 （）由题意显然直线的斜率存在，设直线方程为，由得. 因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，解得. 设，的坐标分别为，则， 所以 因为，所以故的取值范围为 （）由（）得 所以为定值 20. 【解析】（）解：因为,所以. （）证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.设，由已知,由于，所以，.不妨令，这里，且，同理，且，因为只有三个元素，所以.即，但是，与已知矛盾.因此假设不成立，即不存在
13、这样的函数，使得对任意的整数，若，则. （）当时，记，记，则，显然对任意，不存在，使得成立. 故是非“和谐集”，此时.同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.因此. 下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.设，若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，.以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即
14、的最大值为7. 【巩固部分】1-2已知，则“”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】2-3如图，三棱柱的侧棱长为4，底面是边长为2的正三角形，正视图是长为4，宽为2的矩形,则该三棱柱的侧视图的面积为A B C 4 D【答案】A 。【解析】根据正视图与左视图的高度相等，俯视图与左视图宽度一样，易知左视图的面积为.3-5由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有A10个B14个C16个D18个【答案】B.【解析】分两类:若末位数字为5，则倒数第二位为6，前两位数字排法有种；若末位数字为3，将5，6视为一个元
15、素，排法有22=8种，故5，6相邻的奇数的个数共有6+8=14个.BDEACF 4-8如图正六边形ABCDEF中，P是CDE内(包括边界)的动点，设（、R），则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】 C。【解析】建立如图坐标系,设AB=2,则,，则EC的方程:;CD的方程:。因P是CDE内(包括边界)的动点，则可行域为又,则,所以得.5-12若数列满足（k为常数），则称数列为等比和数列，k称为公比和已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，则 【答案】【解析】因为，且，所以， 所以，整个数列为： 1，2，2，4，4，8，8，16，16，显然，偶数项是以2为公比的等比数列，6-14在上任取
16、两个数，那么函数无零点的概率为_.【答案】。【解析】易知的遍取区域为正方形，其面积为由函数无零点得到。7-17如图,长方体中，,是的中点.()求证：直线平面；()求证：平面平面；()求三棱锥的体积. ()证明：在长方体中, ，又 平面，平面 直线平面.()证明：在长方形中,故, 在长方形中有平面,平面, , 又,直线平面, 而平面,所以平面平面. () . 8-19已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.（）求椭圆的标准方程；（）试判断的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；（）当时，圆：被直线截得弦长为，求实数的值。解：（）双曲线的左右焦点为即的坐标分别为. 所以设椭圆的标准方程为,则, 且,所以,从而, 所以椭圆的标准方程为. ()设则，即 . 所以的值与点的位置无关，恒为。 （）由圆：得，其圆心为，半径为， 由（）知当时，故直线的方程为即， 所以圆心为到直线的距离为，又由已知圆：被直线截得弦长为及垂径定理得圆心到直线的距离，所以， 即，解得或。所以实数的值为或. - 19 - 版权所有高考资源网（山东、北京、天津、云南、贵州）五地区试卷投稿QQ 858529021
