1、函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一、复习巩固1已知函数yf(x)有零点,下列说法不正确的是()Af(0)0B方程f(x)0有实根C函数f(x)的图像与x轴有交点D函数f(x)的零点是方程f(x)0的根答案:A2函数f(x)2x23x1的零点是()A,1B.,1C.,1D,1解析:方程2x23x10的两根为x11,x2,函数f(x)2x23x1的零点是,1.答案:B3函数yx316x的零点个数是()A0B1C2D3解析:令x316x0,易解得x4,0,4,由函数零点的定义知,函数yx316x的零点有3个答案:D4若函数f(x)的零点与g(x)2x2的零点相同,则f(
2、x)可以是()Af(x)4x1Bf(x)(x1)2Cf(x)x24x5Df(x)x21解析:令g(x)2x20,得x1,g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)0只有x1一个根只有选项B中函数f(x)(x1)2满足答案:B5若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(1)0,且abc,则该函数的零点个数为()A1B2C0D不能确定解析:f(1)abc0,又abc,a0,c0,即函数的零点有2个答案:B6若一元二次方程ax22x10(a0)有一个正根和一个负根,则有()Aa0Ca1解析:令f(x)ax22x1(a0),其图像经过(0,1)点,欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图像与x轴交点一
3、个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a0.答案:A7函数f(x)2x2ax3有一零点为,则f(1)_.解析:是f(x)的零点,22a30,a5,f(x)2x25x3,f(1)0.答案:08不等式6x2x20的解集是_解析:原不等式等价于6x2x20.方程6x2x20的两根为,可得原不等式的解集为.答案:9不等式(x1)(x2)(x3)0的解集为_解析:函数的零点为1,2,3,利用数轴穿根法作出函数图像的示意图(图略),不等式(x1)(x2)(x3)0的解集为(,1)(2,3)答案:(,1)(2,3)10已知函数yf(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1x2x3x4
4、x5_.解析:由奇函数的对称性知:若f(x)0,则f(x)0,即零点关于原点对称,且f(0)0,故x1x2x3x4x50.答案:011利用函数求下列不等式的解集(1)x22x30;(2)x3x24x40.解析:设f(x)x22x3,令f(x)0,得x22x30,即(x3)(x1)0从而x3或x1,因此3和1都是函数f(x)的零点,从而f(x)的图像与x轴相交于点(3,0)和(1,0),又因为函数的图像是开口向下的抛物线,所以可以做出函数图像,如图所示由图可知:不等式的解集为(3,1)(2)x3x24x4(x3x2)(4x4)x2(x1)4(x1)(x1)(x24)(x1)(x2)(x2),函数
5、零点依次为2,1,2.函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.x(,2)(2,1)(1,2)(2,)f(x)由此可以画出函数图像的示意图如图所示由图可知 x3x24x40的解集为(,2)(1,2)二、综合应用12方程x3x10的一个根存在区间可能是()A0,1B1,2C2,3D3,4解析:原方程可化为x3x1,由yx3与yx1的图像知两函数图像的交点在(0,1)之间,故原方程的根在0,1之间答案:A13二次函数yx22axa1有一个零点大于1,一个零点小于1,则实数a的取值范围是_解析:由于二次函数图像开口向上,则只需f(1)0.即a0.答案:(0,)14函数f(x
6、)的零点为_解析:令x22x30,得:x11,x23.又x0,x3是函数的一个零点,由2x20得x.又x0,x为函数的一个零点答案:3,15函数f(x)(x2)(x5)1有两个零点x1,x2,且x1x2,下列关于x1,x2的式子:x12且2x22且x25;x15;2x15;x1x27.其中错误的有_解析:令g(x)(x2)(x5),则f(x)g(x)1,函数yf(x)的零点就是函数g(x)(x2)(x5)与函数y1图像交点的横坐标而g(x)(x2)(x5)的图像与y1的图像在同一坐标系的图像如图所示,结合图像知只有正确错误答案:16已知函数f(x)x34x,(1)求函数的零点并画出函数的草图;(2)解不等式xf(x)0.解析:(1)因为x34xx(x2)(x2),所以所给函数的零点为0,2,2,3个零点把x轴分成4个区间:(,2,(2,0,(0,2,(2,),相邻两个零点之间的所有函数值保持同号,函数的草图如图所示(2)不等式xf(x)0同解于或,结合函数图像得不等式的解集为(2,0)(0,2)