1、函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一、复习巩固1已知函数yf(x)有零点，下列说法不正确的是()Af(0)0B方程f(x)0有实根C函数f(x)的图像与x轴有交点D函数f(x)的零点是方程f(x)0的根答案：A2函数f(x)2x23x1的零点是()A，1B.，1C.，1D，1解析：方程2x23x10的两根为x11，x2，函数f(x)2x23x1的零点是，1.答案：B3函数yx316x的零点个数是()A0B1C2D3解析：令x316x0，易解得x4,0,4，由函数零点的定义知，函数yx316x的零点有3个答案：D4若函数f(x)的零点与g(x)2x2的零点相同，则f(
2、x)可以是()Af(x)4x1Bf(x)(x1)2Cf(x)x24x5Df(x)x21解析：令g(x)2x20，得x1，g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)0只有x1一个根只有选项B中函数f(x)(x1)2满足答案：B5若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(1)0，且abc，则该函数的零点个数为()A1B2C0D不能确定解析：f(1)abc0，又abc，a0，c0，即函数的零点有2个答案：B6若一元二次方程ax22x10(a0)有一个正根和一个负根，则有()Aa0Ca1解析：令f(x)ax22x1(a0)，其图像经过(0,1)点，欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图像与x轴交点一
3、个在y轴左边，一个在y轴右边)，需满足a0.答案：A7函数f(x)2x2ax3有一零点为，则f(1)_.解析：是f(x)的零点，22a30，a5，f(x)2x25x3，f(1)0.答案：08不等式6x2x20的解集是_解析：原不等式等价于6x2x20.方程6x2x20的两根为，可得原不等式的解集为.答案：9不等式(x1)(x2)(x3)0的解集为_解析：函数的零点为1,2,3，利用数轴穿根法作出函数图像的示意图(图略)，不等式(x1)(x2)(x3)0的解集为(，1)(2,3)答案：(，1)(2,3)10已知函数yf(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，x3，x4，x5，则x1x2x3x4
4、x5_.解析：由奇函数的对称性知：若f(x)0，则f(x)0，即零点关于原点对称，且f(0)0，故x1x2x3x4x50.答案：011利用函数求下列不等式的解集(1)x22x30；(2)x3x24x40.解析：设f(x)x22x3，令f(x)0，得x22x30，即(x3)(x1)0从而x3或x1，因此3和1都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于点(3,0)和(1,0)，又因为函数的图像是开口向下的抛物线，所以可以做出函数图像，如图所示由图可知：不等式的解集为(3,1)(2)x3x24x4(x3x2)(4x4)x2(x1)4(x1)(x1)(x24)(x1)(x2)(x2)，函数
5、零点依次为2,1,2.函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.x(，2)(2,1)(1,2)(2，)f(x)由此可以画出函数图像的示意图如图所示由图可知 x3x24x40的解集为(，2)(1,2)二、综合应用12方程x3x10的一个根存在区间可能是()A0,1B1,2C2,3D3,4解析：原方程可化为x3x1，由yx3与yx1的图像知两函数图像的交点在(0,1)之间，故原方程的根在0,1之间答案：A13二次函数yx22axa1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a的取值范围是_解析：由于二次函数图像开口向上，则只需f(1)0.即a0.答案：(0，)14函数f(x
6、)的零点为_解析：令x22x30，得：x11，x23.又x0，x3是函数的一个零点，由2x20得x.又x0，x为函数的一个零点答案：3，15函数f(x)(x2)(x5)1有两个零点x1，x2，且x1x2，下列关于x1，x2的式子：x12且2x22且x25；x15；2x15；x1x27.其中错误的有_解析：令g(x)(x2)(x5)，则f(x)g(x)1，函数yf(x)的零点就是函数g(x)(x2)(x5)与函数y1图像交点的横坐标而g(x)(x2)(x5)的图像与y1的图像在同一坐标系的图像如图所示，结合图像知只有正确错误答案：16已知函数f(x)x34x，(1)求函数的零点并画出函数的草图；(2)解不等式xf(x)0.解析：(1)因为x34xx(x2)(x2)，所以所给函数的零点为0，2,2，3个零点把x轴分成4个区间：(，2，(2,0，(0,2，(2，)，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的草图如图所示(2)不等式xf(x)0同解于或，结合函数图像得不等式的解集为(2,0)(0,2)