1、第33讲平面向量的应用1会用向量方法解决简单的力、速度的分解与合成问题2会用向量方法解决某些简单的平面几何问题3会用向量方法解决某些简单与平面解析几何有关的问题 知识梳理1用向量法处理垂直问题(1)对非零向量a与b，abab0.(2)若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2y1y20.2用向量法处理平行问题(1)向量a与非零向量b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使得ab.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)是平面向量，则向量a与非零向量b共线的充要条件是x2y1x1y20.3用向量法求角(1)设a，b是两个非零向量，夹角记为，则cos .(2)若a(x1，y1)，b(x
2、2，y2)是平面向量，则cos .4用向量法处理距离(长度)问题(1)设a(x，y)，则a2|a|2x2y2，即|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，且a，则|AB|.5向量在物理中的应用(1)向量在力的分解与合成中的应用(2)向量在速度的分解与合成中的应用 热身练习1已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(1，4)，则这个三角形是(B)A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形 因为(4，8)，(2，2)，(6，6)，而2(6)(2)(6)0，所以ABBC，故ABC为直角三角形2一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于
3、平衡状态已知F1，F2成120角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有(A)AF1，F3成90角 BF1，F3成150角CF2，F3成90角 DF2，F3成60角 如图，因为AOB120，所以OAC60，在OAC中，由余弦定理得OC，所以OA2OC2AC2，所以AOC90，故F1与F3成90角.3.平面上有三个点A(2，y)，B(0，)，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为y28x(x0). 因为(2，)，(x，)，又，所以0，所以(2，)(x，)0，即2x0，所以y28x(x0)4已知平面向量a(1，cos )，b(1,3sin )，若a与b共线，则tan 2的值为. 由条件得3sin c
4、os 0，所以tan ，tan 2.5已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，CDBC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为5. 以D为原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(1,1)设点P(0，y)，0y1，则3(5,34y)，所以|3|，即当y时，所求模长取得最小值5. 向量在物理中的应用一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为A6 B2C2 D2 结合向量的平行四边形法则(如图)，易知F3的大小，即平行四边形对角线OD的长度，根
5、据余弦定理，可得OD22242224cos 12028，故OD2. D 用向量法解决物理问题的步骤：将相关物理量用几何图形表示出来；将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题；最后将数学问题还原为物理问题1一条河宽为400 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为1.5min. 船速度与水流速度的合速度是船的实际航行速度如图，|v1|20，|v2|12.根据勾股定理|v|16(km/h)(m/min)，故t4001.5(min) 向量在平面几何中的应用在等腰直角三角形ABC中，ACBC，D是BC的中点，E是线段AB上的点，且A
6、E2BE，求证：ADCE. (方法一：基向量法)设a，b，则|a|b|，且ab0，则()ab.ba.(ba)(ab)a2b20，所以，即ADCE.(方法二：坐标法)以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，设CA2，则A(2,0)，B(0,2)，D(0,1)，E(，)，所以(2,1)，(，)，所以0.所以，即ADCE. 用向量法解决几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系2如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PEC
7、F是矩形证明：(1)PAEF；(2)PAEF. 以D为坐标原点，以DC，DA所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的坐标系设正方形的边长为1，设P(t，t)(0t1)，则F(t,0)，E(1，t)，A(0,1)，所以(t,1t)，(t1，t)，(1)|，|，所以|，即PAEF.(2)t(t1)(1t)(t)t2ttt20.所以，即PAEF. 向量的综合应用已知点P(3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足0，当点A在y轴上移动时，动点M的轨迹方程为_ 设M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a,0)(a0)，则(x，yb)，(ax，y)，因为，所以(x，
8、yb)(ax，y)，所以ax，b，即A(0，)，Q(，0)，(3，)，(x，y)，因为0，所以3xy20，即所求轨迹的方程为y24x(x0) y24x(x0) 在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程3(2017北京卷)已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则的最大值为6. (方法一)根据题意作出图象，如图所示，A(2,0)，P(x，y)由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0).|cos ，|2，|，cos ，所以2(x2)2x4.又点P在圆x2y21上，所以x1,1所以的最大值为246.(方法二)因为点P在圆x2y
9、21上，所以可设P(cos ，sin )(02)，所以(2,0)，(cos 2，sin )，2cos 4246，当且仅当cos 1，即0，P(1,0)时，上式取到“”1向量的平行、垂直关系是向量最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是数形结合的重要工具，这些知识是高考重点考查内容之一，因此，对这些基本知识必须在理解的基础上熟练掌握2向量法解决几何问题的“三步曲”，即：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题化为向量问题(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题(3)把运算结果“翻译”成几何关系3证明直线平行、垂直、线段相等等问题的常用方法：(1)要证ABCD，可转化为证明22或|.(2)要证两线段ABCD，只要证存在一实数0，使等式成立即可(3)要证明两线段ABCD，只需证0.4用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型进行研究，解释相关物理现象
