1、新学道临川学校2020-2021上学期期中考试高一数学试卷总分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合，3，5，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】直接利用交集运算法则化简求解即可.【详解】解：集合，3，5，则，.故选：.【点睛】本题考查交集的求法，考查计算能力，属于基础题.2. 下列函数中与函数y=x是同一函数的是（）A. y=|x|B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的三要素，逐一判断即可.【详解】对于A，y=|x|与y=x的对应关系不
2、同，故A不选；对于B，与对应关系不同，故B不选；对于C，定义域为，与的定义域不同，故C不选；对于D，定义域为，故与是同一函数，故D选.故选：D【点睛】本题考查了函数的三要素，判断函数是否是同一函数，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.3. 当 且 时，函数的图象一定过点( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算当时，得到答案.【详解】函数，当时，故函数图像过点 故选【点睛】本题考查了函数过定点问题，意在考查学生的观察能力.4. 幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）A. 0B. 1C. 1或2D. 2【答案】D【解析】【分析】本题首先可根据函数是幂函数得出或，然后根据函数在
3、上为增函数得出，即可得出结果.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或，因为函数在上为增函数，所以，即，故选：D.【点睛】本题考查幂函数的相关性质，主要考查根据函数是幂函数以及幂函数的单调性求参数，考查计算能力，是简单题.5. 计算log225log32log59的结果为()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】原式6.6. 已知函数定义域是，则的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的定义域即可得出需满足，然后解出的范围即可【详解】解：的定义域是，满足，解得，的定义域是故选：【点睛】本题考查了函数的定义域的定义及求法，已知的定义域求的定义域的方法，考查
4、了计算能力，属于基础题7. 已知实数a，b满足，则函数的零点所在的区间是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由，得，.所以零点在区间.考点：零点与二分法.8. 如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】判断函数的定义域、奇偶性、单调性等，结合幂函数的图像性质分析判断即可.【详解】对于图，函数图象关于原点对称，为奇函数，且在上递增，故只有符合；对于图，函数图象关于轴对称，为偶函数，且在上递增，故只有符合；对于图，函数的定义域为，且为增函数，故符合；对于图，函数的定义域为，且为奇函数，并且在上递减，故符合
5、.故选：B【点睛】对于幂函数，其主要性质如下：（1）当时，在上递增，当时，在上递减；（2）当，若为偶数，为奇数，则的定义域为，且为增函数；若为奇数，为偶数，则为偶函数，且在上递增9. 函数，则函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分析函数的奇偶性，再根据时函数值的符号即可求出答案【详解】解：与都是偶函数，也是偶函数，由此可排除A、D，又由时，可排除B，故选：C【点睛】本题主要考查函数图象的识别，一般用排除法，根据函数的定义域、奇偶性、特殊点进行验证，属于中档题10. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析
6、】要使函数是减函数，须满足 求不等式组的解即可.【详解】若函数在上单调递减，则得，故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.11. 已知方程有两个实根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题，再利用判别式和韦达定理即可求出实数的取值范围.【详解】设，则，则方程有两个实根可转化为方程有两个正根，则利用判别式和韦达定理得，解得：；所以实数的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点睛：将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题是解决本题的关键.12. 已知函数对任意两个不相等的实数、，都满足不等
7、式，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知，函数在区间上单调递增，利用复合函数的单调性可知，内层函数在区间上单调递减，且对任意的恒成立，进而可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，所以在上是增函数，令，而是减函数，所以在上单调递减，且在上恒成立，所以，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上单调性求参数，解题时还应注意真数要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若幂函数y(m22m2)x4m2在x(0，)上为减函数，则实数m的值是_【
8、答案】【解析】试题分析：因为函数既是幂函数又是的减函数，所以 ，解得：.故答案为.考点：幂函数.14. 若，求函数的值域_.【答案】【解析】【分析】将代入，得到的解析式，然后利用换元法求出值域【详解】要使函数成立，则，即，将函数代入得：，令，则，所以，又或，故函数的值域为.故答案为：.【点睛】求解复合函数的值域的一般方法如下：（1）若函数的形式比较简单，可先将的解析式表示出来，然后设法求出其值域，解答时注意定义域；（2）采用换元法，令，计算的值域即的取值范围，然后计算的值域15. 函数在区间上递减，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先求得函数对称轴方程，再根据函数在区间上递减，由求
9、解.【详解】函数的对称轴方程为：，因为函数在区间上递减，所以 ，解得，所以实数的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16. 非空数集A如果满足：；若，有，则称A是“互倒集”给出以下数集：；其中“互倒集”的是_（请在横线上写出所有正确答案）【答案】【解析】【分析】根据新定义“互倒集”，对三个集合逐一判断即可.【详解】中，二次方程判别式，故时方程无根，该数集是空集，不符合题意；中，即，显然，又，即，故也在集合中，符合题意；中，易见，又，故也在集合中，符合题意.故答案为：.【点睛】本题是新定义题，解题关键在于理解“互倒集”，首先数集A
10、非空，其次确定，再对于，研究的取值范围，即突破难点.三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合.(1)求集合A；(2)若，求实数a的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)求解集合A中的二次方程即可.(2)由(1)有,又故分情况讨论即可.【详解】(1)集合.(2)若,即.所以,或.当时,满足当时,集合B不满足元素的互异性,故舍去.综上,.【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与分类讨论的思想和集合中元素的互异性,属于基础题型.18. （1）计算；（2）计算：【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用指数幂化简求值即可；（2）利
11、用对数的运算求解即可.【详解】（1）原式 （2）原式19. 设函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)1，且对任意的实数x，yR，有f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0)的值；(2)证明：f(x)在R上是减函数【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）特殊值代入法.令代入 ，可得 .（2）先将代入，证明，再用定义法证明 单调递减.【详解】(1) ，当 时， ，令 ，则 ，.(2)证明：若 ， ，故 .任取 ，则 ， ， 故 在 上是减函数20. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）平面直角坐标系中，画出函数的图象；（2）根据图象，直接写出的单调增区间，同时写出函数的值
12、域.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）在平面直角坐标系中画出相应范围上的二次函数的图象，再根据奇偶性可得的图象.（2）根据图象上升可得的单调增区间，同时也可得函数的值域.【详解】（1）函数的图象如图所示：（2）如图所示：函数的增区间为：，函数的值域为：.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性和值域，本题作图时只需画出上的图象，然后利用奇偶性画出另一半，注意奇函数在对称两侧的单调性相同.本题属于基础题.21. 已知指数函数满足;定义域为R的函数是奇函数.(1)确定的解析式;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设出指数函
13、数的解析式，结合求得解析式，根据为奇函数以及的定义域为，求得的解析式.（2）利用的单调性和奇偶性化简不等式，分离常数后，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】（1）由于是指数函数，设（且），由得，解得，故.所以.由于是定义在上的奇函数，故，所以.由于，所以，即恒成立，则，所以.（2）由（1）得，所以是在上递减的奇函数.由于对任意,不等式恒成立，所以，即，即，即，由于，所以，所以.【点睛】本小题主要考查指数函数解析式的求法，考查根据函数的奇偶性求参数，考查函数不等式的解法，考查恒成立恒成立问题的求解策略，属于中档题.22. 如果函数在定义域内存在区间，使得该函数在区间上的值域为，则称函数是该定
14、义域上的“和谐函数”.（1）判断函数是不是“和谐函数”，并说明理由；（2）若函数是“和谐函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）是“和谐函数”，见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题目所给的定义构造函数，再验证特殊值即可判定函数是上的“和谐函数”.（2）将题意转化为在上至少有两个不相等的实数根，再求解即可.【详解】解：（1）函数的定义域为，且在上单调递增；研究函数，；因，取，则，即，取，则，即，因为在上单调递增，所以在区间上的值域为，即为.所以函数是上的“和谐函数”.（2）因在单调递增，因为函数是“和谐函数”，所以存在，使得函数在区间上的值域为.即，因此，即在上至少有两个不相等的实数根.令，方程可化为；即在上至少有两个不相等的非负实数根；记，的对称轴为直线；所以；解得，即t的取值范围为 .【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了函数的单调性和转化的思想，属于难题.
