1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解直线与平面垂直的定义(重点)2理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直(难点)3理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养2通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学核心素养自 主 预 习 探 新 知 1直线与平面垂直定义如果直线 l 与平面 内的 直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂直 记法l 有关概念直线 l 叫做平面
2、 的 ，平面 叫做直线 l 的 它们惟一的公共点 P 叫做 任意一条垂线垂面垂足图示 画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 la，lb，a，b，l 图形语言两条相交直线abP3.直线和平面所成的角有关概念 对应图形 斜线 与平面 ，但不和平面 ，图中 斜足 斜线和平面的 ，图中 射影过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过 和 的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线 PA 在平面 上的射影为 相交垂直直线 PA交点点 A垂线垂足斜足AO直线与平面所成的角定义：平面
3、的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是 取值范围0，90直角0的角思考：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？提示 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直C 由线面垂直的判定定理知 OA 垂直于平面 OBC.1若三条直线 OA，OB，OC 两两垂直，则直线 OA 垂直于()A平面 OAB B平面 OACC平面 OBCD平面 ABCB 一条直线和三角形的两边同
4、时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边2一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A平行B垂直C.相交不垂直D.不确定45 如图所示，因为正方体 ABCD-A1B1C1D1中，B1B平面 ABCD，所以 AB 即为 AB1 在平面 ABCD中的射影，B1AB 即为直线 AB1 与平面 ABCD 所成的角由题意知，B1AB45，故所求角为 45.3在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 AB1 与平面 ABCD 所成的角等于_合 作 探 究 释 疑 难 直线与平面垂直的判定【例 1】如图，在三棱锥 S-ABC 中，ABC90，D 是 AC的中点，
5、且 SASBSC.(1)求证：SD平面 ABC；(2)若 ABBC，求证：BD平面 SAC.证明(1)因为 SASC，D 是 AC 的中点，所以 SDAC.在 RtABC 中，ADBD，由已知 SASB，所以ADSBDS，所以 SDBD.又 ACBDD，AC，BD平面 ABC，所以 SD平面 ABC.(2)因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以 BDAC.由(1)知 SDBD.又因为 SDACD，SD，AC平面 SAC，所以 BD平面 SAC.证线面垂直的方法：(1)线线垂直证明线面垂直：定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅
6、助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直(2)平行转化法(利用推论)：ab，ab；，aa.跟进训练如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，ANPM，垂足为 N.求证：AN平面 PBM.证明 设圆 O 所在的平面为，PA，且 BM，PABM.又AB 为O 的直径，点 M 为圆周上一点，AMBM.由于直线 PAAMA，BM平面 PAM，而 AN平面 PAM，BMAN.AN 与 PM、BM 两条相交直线互相垂直故 AN平面 PBM.直线与平面所成的角探究问题1若图中
7、的POA 是斜线 PO 与平面 所成的角，则需具备哪些条件？提示 需要 PA，A 为垂足，OA 为斜线 PO 的射影，这样POA就是斜线 PO 与平面 所成的角2空间几何体中，确定线面角的关键是什么？提示 在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定【例 2】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，(1)求直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角的正切值；(2)求直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角证明(1)直线 A1A平面 ABCD，A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角，设 A1A1，则 AC 2，tan
8、 A1CA 22.(2)连接 A1C1 交 B1D1 于 O，在正方形 A1B1C1D1 中，A1C1B1D1，BB1平面 A1B1C1D1，A1C1平面 A1B1C1D1，BB1A1C1，又 BB1B1D1B1，A1C1平面 BDD1B1，垂足为 O.A1BO 为直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角，在 RtA1BO 中，A1O12A1C112A1B，A1BO30，即 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角为 30.在本例正方体中，若 E 为棱 AB 的中点，求直线 B1E 与平面 BB1D1D所成角的正切值解 连接 AC 交 BD 于点 O，过 E 作 EO1AC 交 BD 于点
9、O1，易证 AC平面 BB1D1D，EO1平面 BB1D1D，B1O1 是 B1E 在平面 BB1D1D 内的射影，EB1O1 为 B1E 与平面 BB1D1D 所成的角设正方体的棱长为 a，E 是 AB 的中点，EO1AC，O1 是 BO 的中点，EO112AO12 2a2 2a4，B1O1 BO21BB212a42a2 3a2 2，tan EB1O1 EO1B1O12a43a2 213.求斜线与平面所成角的步骤：课 堂 小 结 提 素 养 1线线垂直和线面垂直的相互转化：2证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另
10、一条直线也垂直于这个平面(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面A 若 lm，l，m，则 l，这与已知 l 矛盾所以直线 l 与 m 不可能平行1直线 l平面，直线 m，则 l 与 m 不可能()A平行 B相交 C异面 D垂直A 因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直选 A.2垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A垂直B相交但不垂直C平行D不确定A ABO 即是斜线 AB 与平面 所成的角，在 RtAOB 中，AB2BO，所以 cos ABO12，即ABO60.故选 A.3如图所示，若斜线段 AB 是它在平面 上的射影 BO 的 2 倍，则 AB 与平面 所成的角是()A60B45C30D1204在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求证：A1C平面 BC1D.证明 如图，连接 AC，ACBD，又BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面 A1AC，BD平面 A1AC，A1C平面 A1AC，BDA1C.同理可证 BC1A1C.又BDBC1B，BD，BC1平面 BC1D，A1C平面 BC1D.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
