1、南京师范大学附属中学2020-2021学年第1学期期末测试卷一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）1设，则“”是“”的A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件2将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率为ABCD3若正整数，满足，则所有满足条件的的和为A6B4C3D14嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆是我国首次实现的地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（，）A40B41C42D4
2、35在矩形中，点，分别为直线，上的动点，交于点.若（），则点的轨迹是A直线B抛物线C双曲线D椭圆6在三棱锥中，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是ABCD7如图，四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，以D为圆心，为半径在侧面上画弧，当半径的端点完整地划过时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为ABCD8已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为ABCD2二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）9设，是两个相交平面，则下列说法正确的是A若直线，则在平面内一定存在无数条直线与直线m垂直B若直线，则在平面内一定不存在与直线m平行的直线C若
3、直线，则在平面内一定存在与直线m垂直的直线D若直线，则在平面内一定不存在与直线m平行的直线10在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，则下列说法正确的是AB数列是等比数列CD数列是公差为2的等差数列11(1axby)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，n的值可能为Aa=2，n=5Ba=1，n=6Ca=1，n=5Da=1，n=512已知抛物线，其焦点为，为直线上任意一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，斜率分别为，则ABC过定点D的最小值为三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13已知x0，y0，x4yxy5，则xy的最大值为_；x4y的最小值为_14A工厂年前加
4、紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套_万只.15设无穷数列an的前n项和为Sn，下列有三个条件：； Snan+1+1，a10； Sn2an+（p是与n无关的参数）从中选出两个条件，能使数列an为唯一确定的等比数列的条件是_16如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点
5、发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，则截口所在椭圆的离心率为_.四、解答题（共6小题，共70分）17（10分）在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数60岁及以上258752160岁以下0224921（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过1
6、2天的概率.18（12分）在，且；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在中，角，的对边分别为，且 （1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围（如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分）19（12分）已知数列的前项和是.（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和是，求使得的最小正整数20（12分）如图甲，的直径，点，为上两点，且，为的中点.沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图乙）.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.21（12分）已知函数.（1）讨论的单调性;（2）当时，证明:22（12分）如图已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，
7、切点分别为，与轴分别交于.（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）设直线与轴相交于点，记两点到直线的距离分别为；求当取最大值时的面积.参考答案1A2C3B4C5D6A7A8B9AC10ABC11CD12AC131 4 141.6151617（1）（2）（天）（3）18（1）（1）若选：，且，所以，所以又，所以，所以，所以若选：由正弦定理得，因为，所以，即由，所以，所以.若选：由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以.（2）因为是锐角三角形，所以，且，得由正弦定理得，所以因为，所以，所以，所以，即得取值范围是19（1），当时，符合上式，所以（2），令，解得，所以最小正整数为1011.20（1
8、）（1）如图，连接CO，又为的中点，平面，平面，平面（2）过O作OEAD与E，连CE，平面ABC平面ABD平面ABD又平面ABD，平面CEO，则是二面角的平面角，由平面ABD，平面ABD，得为直角三角形，.（2）.21(1），当时，恒成立，则在上单调递增当时，令，则，所以令，则所以综上:当时，的增区间为;当时，的增区间为，减区间为.(2)由(1)知，当时，令，则，令，则.令，则.故，所以又因为，所以则，从而即.22（1）设过点与抛物线相切的直线方程为：，由，得，因为相切，所以，即得，设是该方程的两根，由韦达定理得：，分别表示切线斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点，所以，所以直线为：，得，直线方程为：，所以过定点.（2）由（1）知，由（1）知点坐标为，所以直线方程为：，即：，所以，分居直线两侧可得，所以，当且仅当等号成立，又由，令得：，.
