1、2016-2017学年内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1满足条件2，3M1，2，3，4 的集合M的个数是（）A2B3C4D52若复数z满足z（1+i）=1i，其中i为虚数单位，则=（）A1BCD23在数列an中，已知a3=3，an+1=an+1，前n项的和Sn=55则n为（）A8B9C10D114下列命题错误的是（）A命题“若m0，则方程x2+xm=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+xm=0无实数根，则m0”B对于命题p：xR，使得x2+x+10，
2、则p：xR，均有x2+x+10C若pq为假命题，则p，q中至少一个为假命题D“”是“”的充要条件5若函数f（x）=ax24x+c的值域为1，+），则的最小值为（）A1B2C3D46设m，n，l为空间不重合的直线，是空间不重合的平面，则下列说法正确的是（）A若ml，nl，则mnB若lm，l，则C若ml，m，则lD若，=l，则l7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）AB3CD68已知，是两个向量，|=1，|=2，且（+），若在ABC中， =， =，D为BC中点，则AD的长为（）ABCD9现有四个函数：y=xsinx；y=xcosx；y=x|cosx|；y=x2x的图象（部分）如图：
3、则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）ABCD10函数y=g（x）的图象是由函数f（x）=sin2xcos2x的图象向左平移个周期而得到的，则函数y=g（x）的图象与直线x=0，x=，x轴围成的封闭图形的面积为（）AB1CD311A在塔底D的正西面，在A处测得塔顶C的仰角为45，B在塔底D的南偏东60处，在塔顶C处测得到B的俯角为30，AB间距84米，则塔高为（）A24米B米C米D36米12已知e为自然对数的底数，若对任意的x11，e，总存在唯一的x21，1，使得alnx1=x22ex2成立，则实数a的取值范围是（）A1，eB1+，eC（1，eD（1+，e二、填空题：本大题共4小
4、题，每小题5分13若x、y满足约束条件，则的取值范围为14已知数列an满足，其前n项和为Sn，则Sn2an的值为15已知函数f（x）=在a，a+2上没有最大值，则a的取值范围是16在棱锥PABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数x+2的图象的对称中心到对称轴的最短距离为（1）求的值和函数f（x）的图象的对称中心、对称轴方程（2）求函数f（x）在区间上的值域18在梯形ABCD中，ABCD，CD=2，ADC=120，cos
5、（）求AC的长；（）若AB=4，求梯形ABCD的面积19如图1，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=，AB=AD=，将图1沿直线BC折起，使得二面角ABCC为60如图2（1）求证：AE平面BDC；（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值20已知函数f（x）=x+lnx，（aR）（）若f（x）有最值，求实数a的取值范围；（）当a2时，若存在x1、x2（x1x2），使得曲线y=f（x）在x=x1与x=x2处的切线互相平行，求证：x1+x2821已知数列an的前n项和Sn=3n1（1）求a1+a4+a7+a3n+1（2）设bn=an（log3an+1log32），求数列bn
6、的前n项和Tn22已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3x2ax（）若为f（x）的极值点，求实数a的值；（）若y=f（x）在1，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（）若a=1使，方程有实根，求实数b的取值范围2016-2017学年内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1满足条件2，3M1，2，3，4 的集合M的个数是（）A2B3C4D5【考点】集合的表示法【分析】根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案【解答】解
7、：根据子集的定义，可得集合M必定含有2、3两个元素，因此，满足条件2，3M1，2，3，4 的集合M有：2，3）、1，2，3、2，3，4，1，2，3，4 共4个故选：C2若复数z满足z（1+i）=1i，其中i为虚数单位，则=（）A1BCD2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由z（1+i）=1i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，再由复数求模公式计算得答案【解答】解：由z（1+i）=1i，得=，则=|i1|=故选：B3在数列an中，已知a3=3，an+1=an+1，前n项的和Sn=55则n为（）A8B9C10D11【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式与求和
8、公式即可得出【解答】解：an+1=an+1，即an+1an=1，数列an是等差数列，公差为1又a3=3，a1+2=3，解得a1=1Sn=55，n+=55，nN*，解得n=10故选：C4下列命题错误的是（）A命题“若m0，则方程x2+xm=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+xm=0无实数根，则m0”B对于命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+10C若pq为假命题，则p，q中至少一个为假命题D“”是“”的充要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】A，根据命题与其逆否命题的定义判定B，根据含有量词的命题的否定定义判定，C，根据pq命题的定义判定；D，“”一定有“”，但“
9、”，不一定有“”【解答】解：对于A，命题“若m0，则方程x2+xm=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+xm=0无实数根，则m0”正确对于B，对于命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+10正确；对于C，若pq为假命题，则p，q中至少一个为假命题，正确；对于D，“”一定有“”，但“”，不一定有”，故错故选：D5若函数f（x）=ax24x+c的值域为1，+），则的最小值为（）A1B2C3D4【考点】二次函数的性质；基本不等式【分析】由于二次函数f（x）=ax24x+c的值域为1，+），所以a0，且=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出c1=，代入利用均
10、值不等式进而求解【解答】解：因为二次函数f（x）=ax24x+c的值域为1，+），所以=1c1=，a0，所以=2=3（当且仅当a=6时取等号）所以的最小值为3，故选C6设m，n，l为空间不重合的直线，是空间不重合的平面，则下列说法正确的是（）A若ml，nl，则mnB若lm，l，则C若ml，m，则lD若，=l，则l【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，与相交或平行；在C中，l或m；在D中，由面面垂直的性质得l【解答】解：由m，n，l为空间不重合的直线，是空间不重合的平面，知：在A中，若ml，nl，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若lm，
11、l，则与相交或平行，故B错误；在C中，若ml，m，则l或l，故C错误；在D中，若，=l，则由面面垂直的性质得l，故D正确故选：D7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）AB3CD6【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为： =3故选B8已知，是两个向量，|=1，|=2，且（+），若在ABC中， =， =，D为BC中点，则AD的长为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方
12、，再由向量的中点表示，化简整理计算即可得到所求值【解答】解：，是两个向量，|=1，|=2，且（+），可得（+）=0，即为2+=0，即有=2=1，在ABC中， =， =，D为BC中点，则=（+）=（+），可得2=（+）2=（2+2+2）=（1+421）=，可得AD的长为故选：D9现有四个函数：y=xsinx；y=xcosx；y=x|cosx|；y=x2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到【解答】解：根据y=xsinx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即
13、是；根据y=xcosx为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，）上的值为正数，在（，）上的值为负数，故第三个图象满足；根据y=x|cosx|为奇函数，当x0时，f（x）0，故第四个图象满足；y=x2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第2个图象满足，故选：D10函数y=g（x）的图象是由函数f（x）=sin2xcos2x的图象向左平移个周期而得到的，则函数y=g（x）的图象与直线x=0，x=，x轴围成的封闭图形的面积为（）AB1CD3【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性，y=Asin（x+）的图象变换规律，
14、求得g（x）的解析式，再利用定积分的几何意义，求得g（x）的图象与直线x=0，x=，x轴围成的封闭图形的面积【解答】解：函数f（x）=sin2xcos2x=2sin（2x）的周期为=，函数y=g（x）的图象是由函数f（x）=sin2xcos2x=2sin（2x）的图象向左平移个周期，即向左平移个单位而得到的，g（x）=2sin（2x+）=2sin2x，故函数y=g（x）的图象与直线x=0，x=，x轴围成的封闭图形的面积S=2sin2xdx=cos2x=cos（cos0）=+1=，故选：C11A在塔底D的正西面，在A处测得塔顶C的仰角为45，B在塔底D的南偏东60处，在塔顶C处测得到B的俯角为3
15、0，AB间距84米，则塔高为（）A24米B米C米D36米【考点】三角形中的几何计算【分析】由题意画出图象，由图求出CDB和ADB的值，设CD=h，由条件在直角三角形求出边AD、BD，由余弦定理列出方程求出CD的值【解答】解：由题意画出图象：则CDB=30，ADB=90+60=150，且AB=84，设CD=h，则在RTADC中，AD=CD=h，在RTBDC中，BD=，在ABD中，由余弦定理得，AB2=AD2+BD22ADBDcosADB，则，化简得，7h2=842，解得h=（米），故选C12已知e为自然对数的底数，若对任意的x11，e，总存在唯一的x21，1，使得alnx1=x22ex2成立，则
16、实数a的取值范围是（）A1，eB1+，eC（1，eD（1+，e【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由对数函数的单调性求得f（x）的取值范围，求导，利用函数的单调性求得g（x）的值域，由题意可知：a1，a（，e，即可求得a的取值范围【解答】解：设f（x）=alnx，x1，e单调递减，f（x）max=a，f（x）min=a1，f（x）a1，a，设g（x）=x2ex，对任意的x11，e，总存在唯一的x21，1，使得alnx1=x22ex2成立，a1，a是g（x）的不含极值点的单值区间的子集，g（x）=x（2+x）ex，x1，0）时，g（x）0，g（x）=x2ex是减函数，当x（0，1，g（x）0
17、，g（x）=x2ex是增函数，g（1）=e=g（1），a1，a（，e，解得： +1ae故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若x、y满足约束条件，则的取值范围为（1，+）【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（1，1）的斜率，由图象知当过D的直线和直线BC平行时，直线的斜率k=1，则的取值范围为k1，故答案为：（1，+）14已知数列an满足，其前n项和为Sn，则Sn2an的值为【考点】数列递推式【分析】由题意可知an是等比数列，公比为2，求出a1即可得出an，
18、Sn，从而得出Sn2an的值【解答】解：an+1=2an，an是以2为公比的等比数列，a1+a3=，a1+4a1=，解得a1=，an=2n4，Sn=2n3，Sn2an=2n32n3=故答案为：15已知函数f（x）=在a，a+2上没有最大值，则a的取值范围是（2，0【考点】函数的最值及其几何意义【分析】画出函数f（x）的图象，由图象可知，若f（x）在在a，a+2上没有最大值，则，解得即可【解答】解：画出函数f（x）的图象，由图象可知，若f（x）在在a，a+2上没有最大值，则，解得2a0，故a的取值范围为：（2，0故答案为：（2，016在棱锥PABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面ABC
19、内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为【考点】球的体积和表面积【分析】根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，再由长方体和其外接球的关系求解【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线2R=由球的体积公式得V=故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数x+2的图象的对称中心到对称轴的最短距离为（1）求的值和函数f（x）的图
20、象的对称中心、对称轴方程（2）求函数f（x）在区间上的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，对称中心到对称轴的最短距离为可得周期T=，根据周期公式求的值即可，根据正弦函数的性质求解对称中心、对称轴方程；（2）x在区间上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域【解答】解：（1）函数x+2化简可得：，对称中心到对称轴的最短距离为周期故得=1；f（x）=sin（2x）+1由2x=，（kZ）得：x=函数图象的对称轴方程为x=（k
21、Z）函数的对称中心横坐标2x=k，（kZ），得x=函数的对称中心坐标为（kZ）（2）x上时，2x，当2x=时，函数f（x）取得最小值为当2x=时，函数f（x）取得最大值为2函数f（x）在区间上的值域为18在梯形ABCD中，ABCD，CD=2，ADC=120，cos（）求AC的长；（）若AB=4，求梯形ABCD的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）在ACD中，由正弦定理得：，解出即可；（）在ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD22ADCDcos120，解得AD，过点D作DEAB于E，则DE为梯形ABCD的高在直角ADE中，可求DE=ADsin60，即可由梯形面积得解【解答】解：（）
22、在ACD中，cosCAD=，sinCAD=由正弦定理得：，即AC=2（）在ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD22ADCDcos120，整理得AD2+2AD24=0，解得AD=4过点D作DEAB于E，则DE为梯形ABCD的高ABCD，ADC=120，BAD=60在直角ADE中，DE=ADsin60=2=6即梯形ABCD的面积为619如图1，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=，AB=AD=，将图1沿直线BC折起，使得二面角ABCC为60如图2（1）求证：AE平面BDC；（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分
23、析】（1）取BD中点F，连结EF，AF，由余弦定理及勾股定理，可得AEEF，由线面垂直的性质可得BDAE，由线面垂直的判定定理可得AE平面BDC；（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，求出直线AC的方向向量与平面ABD的法向量，代入向量夹角公式，可得直线AC与平面ABD所成角的余弦值【解答】证明：（1）取BD中点F，连结EF，AF，则，由余弦定理知：，AF2+EF2=AE2，AEEF，又BD平面AEF，AE平面AEF，BDAE，又EFBD=F，EF，BD平面BDCAE平面BDC； 解：（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，则，设平面ABD的法向量为=（x，y，z），由，得，取，则y
24、=3，故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为20已知函数f（x）=x+lnx，（aR）（）若f（x）有最值，求实数a的取值范围；（）当a2时，若存在x1、x2（x1x2），使得曲线y=f（x）在x=x1与x=x2处的切线互相平行，求证：x1+x28【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出原函数的导函数，通分整理后得到，然后根据二次三项式x2+xa对应方程根的情况分析导函数的符号，从而得到原函数的单调性，利用原函数的单调性求得使f（x）有最值的实数a的取值范围；（）由曲线y=f（x）在x=x1与x=x2处的导数相等得到，由已知a2得到2（x1+x2）x1x2，结合不等式可证得答案【
25、解答】（）解：f（x）=x+lnx，（aR），x（0，+）由x2+xa对应的方程的=1+4a知，当时，f（x）0，f（x）在（0，+）上递增，无最值；当时，x2+xa=0的两根均非正，因此，f（x）在（0，+）上递增，无最值；当a0时，x2+xa=0有一正根，当x时，f（x）0，f（x）在上递减，当x时，f（x）0，f（x）在上递增此时f（x）有最小值实数a的范围为a0；（）证明：依题意：，整理得：，由于x10，x20，且x1x2，则有，则x1+x2821已知数列an的前n项和Sn=3n1（1）求a1+a4+a7+a3n+1（2）设bn=an（log3an+1log32），求数列bn的前n项和
26、Tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n2时，an=SnSn1，即可得到an的通项公式；（2）求得bn=23n1log33n=2n3n1再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和【解答】解：（1）数列an的前n项和Tn满足Sn=3n1（nN*），当n=1时，a1=S1=2，当n2时，bn=SnSn1=3n1（3n11）=23n1对n=1也成立；an的通项公式为an=23n1；可得a1+a4+a7+a3n+1=；（2）bn=an（log3an+1log32）=23n1log3=23n1log33n=
27、2n3n1，前n项和Tn=230+431+632+2n3n13Tn=23+432+633+2n3n相减可得2Tn=2+2（3+32+33+3n1）2n3n=2+22n3n化简可得Tn=22已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3x2ax（）若为f（x）的极值点，求实数a的值；（）若y=f（x）在1，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（）若a=1使，方程有实根，求实数b的取值范围【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件【分析】（I）根据极值点的信息，我们要用导数法，所以先求导，则的极值点，则有从而求得结果（II）由f（x）在1，+）上为增函数，则有f（x
28、）0，x1，+）上恒成立求解（III）将a=1代入，方程，可转化为b=xlnx+x2x3，x0上有解，只要求得函数g（x）=xlnx+x2x3的值域即可【解答】解：（I）=的极值点，解得a=0又当a=0时，f（x）=x（3x2），从而的极值点成立（II）因为f（x）在1，+）上为增函数，所以上恒成立若a=0，则f（x）=x（3x2），此时f（x）在1，+）上为增函数成立，故a=0符合题意若a0，由ax+10对x1恒成立知a0所以3ax2+（32a）x（a2+2）0对x1，+）上恒成立令g（x）=3ax2+（32a）x（a2+2），其对称轴为，因为，从而g（x）在1，+）上为增函数所以只要g（1
29、）0即可，即a2+a+10成立解得又因为综上可得即为所求（III）若a=1时，方程可得即b=xlnxx（1x）2+x（1x）=xlnx+x2x3在x0上有解即求函数g（x）=xlnx+x2x3的值域法一：b=x（lnx+xx2）令h（x）=lnx+xx2由x0当0x1时，h（x）0，从而h（x）在（0，1）上为增函数；当x1时，h（x）0，从而h（x）在（1，+）上为减函数h（x）h（1）=0，而h（x）可以无穷小b的取值范围为（，0法二：g（x）=lnx+1+2x3x2当，所以上递增；当，所以上递减；又g（1）=0，当0xx0时，g（x）0，所以g（x）在0xx0上递减；当x0x1时，g（x）0，所以g（x）在x0x1上递增；当x0时，g（x）0，所以g（x）在x1上递减；又当x+时，g（x），当x0时，则g（x）0，且g（1）=0所以b的取值范围为（，02017年4月23日
