1、正弦定理和余弦定理分层训练A级基础达标演练(时间:30分钟满分:60分)一、填空题(每小题5分,共30分)1(2012南京市、盐城市一模)在ABC中,已知sin Asin Bsin C234,则cos C_.解析由正弦定理及sin Asin Bsin C234,得abc234.不妨设a2m,b3m,c4m(m0)由余弦定理得cos C.答案2在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且b2c2bca2,则角A的大小为_解析由余弦定理,得cos A,所以A.答案3已知ABC中,AB2,C,则ABC的周长为_(用含角A的三角函数表示)解析由正弦定理,得ABC的周长为abc2sin Asi
2、n22sin A2cos A24sin2.答案4sin24(2011四川卷改编)在ABC中,sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C,则A的取值范围是_解析由题意和正弦定理,得a2b2c2bc,b2c2a2bc,cos A,所以0A.答案5(2011重庆卷改编)若ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,满足(ab)2c24,且C60,则ab的值为_解析由(ab)2c24及余弦定理,得c2a2b22abcos 60(ab)23ab,所以ab.答案6(2011安徽卷)已知ABC的一个内角为120,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC的面积为_解析不妨设A120,cb,则ab4,
3、cb4,于是由cos 120,解得b10,Sbcsin 12015.答案15二、解答题(每小题15分,共30分)7(2012苏州市自主学习调查)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若(abc)(bca)3bc,求A的值;(2)若c10,A45,C30,求b的值解(1)由已知得(bc)2a23bc,即a2b2c2bc.由余弦定理a2b2c22bccos A,得cos A.由于0A,所以A.(2)由于ABC180,所以B1804530105.由正弦定理,得bsin Bsin 105205()8(2011天津卷)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知BC,2ba.
4、(1)求cos A的值;(2)cos的值解(1)由BC,2ba,可得cba,所以cos A.(2)因为cos A,A(0,),所以sin A,cos 2A2cos2A1,sin2A2sinAcosA.所以coscos 2Acossin 2Asin.分层训练B级创新能力提升1(2011北京卷)在ABC中,若b5,B,tan A2,则sin A_,a_.解析tan A20,A为锐角,又2,sin2Acos2A1由得sin A.a2.答案22.(2011天津卷改编)如图,在ABC中,D是边AC上的点,且ABAD,2ABBD,BC2BD,则sin C_.解析设ABa,BDa,BC2BDa,cos A,
5、sin A,由正弦定理知sin Csin A.答案3在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2b2bc,sin C2sin B,则A角大小为_解析由a2b2bc,c2b,得a27b2,所以cos A,所以A.答案4在ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果a,b,c成等差数列,B30,ABC的面积为,那么b_.解析由a,b,c成等差数列,得2bac.平方得a2c24b22ac.又ABC的面积为,且B30,故由SABCacsin Bacsin 30ac,得ac6,所以a2c24b212.由余弦定理cos B.解得b242.又因为b为边长,故b1.答案15(2011山东卷)在
6、ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)若cos B,ABC的周长为5,求b的长解(1)由正弦定理得a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C(R为ABC外接圆半径),所以,即sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos Bsin Acos B,即有sin(AB)2sin(BC),即sin C2sin A,所以2.(2)由(1)知2,所以有2,即c2a,又因为ABC的周长为5,所以b53a,由余弦定理及cos B得b2c2a22accos B,即(53a)2(2a)2a24a2,解得a1,所以b2.6(2012盐城市二模)设ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且b2ac.(1)求证:cos B;(2)若cos(AC)cos B1,求角B的大小解(1)因为cos B,所以cos B.(2)因为cos(AC)cos Bcos(AC)cos(AC)2sin Asin C1,所以sin Asin C.又由b2ac,得sin2Bsin Asin C,又B(0,),故sin B.由(1),得B.