1、第1讲 三角函数的图象与性质 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 41.(2015山东)要得到函数 ysin4x3 的图象，只需将函数ysin 4x 的图象()A.向左平移 12个单位B.向右平移 12个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位1 2 3 4解析 ysin4x3 sin4x 12，要得到 ysin4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位.答案 B 1 2 3 42.(2015课标全国)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.k1
2、4，k34，kZB.2k14，2k34，kZC.k14，k34，kZD.2k14，2k34，kZ1 2 3 4解析 由图象知，周期 T25414 2，22，.由 1422k，kZ，不妨取 4，f(x)cosx4.1 2 3 4由 2kx42k，kZ，得 2k14x0，在函数 y2sin x 与 y2cos x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则 _.解析 由y2sin x，y2cos x得 sin xcos x，tan x1，xk4(kZ).0，xk 4(kZ).1 2 3 4设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取 x1 4，x254，则|x2x1
3、|54 4.又结合图形知|y2y1|2 22 2 22 2 2，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为 2 3，(x2x1)2(y2y1)2(2 3)2，2(2 2)212，2.答案 21 2 3 44.(2015浙江)函数f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，最小值是_.解析 函数f(x)sin2xsin xcos x1 1cos 2x212sin 2x1 22 sin2x4 32.最小正周期为.最小值为3 22.3 22 考情考向分析 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析
4、、处理问题的能力，是高考的必考点.热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式热点分类突破(1)三角函数：设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin y，cos x，tan yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.(2)同角关系：sin2cos21，sin cos tan.(3)诱导公式：在k2，kZ 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.例 1(1)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2y21 逆时针方向运动23 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为()A.(12，32)B.(32，12)C.(12，32)D.(32，12)解析 设Q点的
5、坐标为(x，y)，则 xcos23 12，ysin23 32.Q 点的坐标为(12，32).答案 A(2)已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点 P(4,3)，则cos2sincos112 sin92 的值为_.解析 原式sin sin sin cos tan.根据三角函数的定义，得 tan yx34，原式34.34 思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解.应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关.(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵
6、循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.跟踪演练 1(1)已知点 Psin 34，cos 34 落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为()A.4B.34C.54D.74解析 tan cos 34sin 34cos 4sin 41，又 sin 34 0，cos 34 0，所以 为第四象限角且 0,2)，所以 74.答案 D(2)如图，以 Ox 为始边作角(00或向右0倍横坐标不变yAsin(x).例 2(1)已知函数 y3sin x(0)的周期是，将函数 y3cos(x2)(0)的图象沿 x 轴向右平移8个单位，得到函数yf(x)的图象，则函数 f(x)等于()A.3sin(
7、2x8)B.3sin(2x4)C.3sin(2x8)D.3sin(2x4)解析 由题意可知 T2，所以 2，所以 y3cos(x2)(0)的解析式为y3cos(2x2)3sin 2x，再把图象沿 x 轴向右平移8个单位后得到y3sin 2(x8)3sin(2x4).答案 B(2)函数 f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0,0)的图象如图所示，则 f(3)的值为_.解析 根据图象可知，A2，3T4 1112 6，所以周期T，由 2T 2.又函数过点(6，2)，所以有 sin(26)1，而 00，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；
8、确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.跟踪演练 2(1)若将函数 ytan(x4)(0)的图象向右平移6个单位长度后，与函数 ytan(x6)的图象重合，则 的最小正值为()A.16B.14 C.13D.12D(2)(2015陕西)如图，某港口一天 6 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6x k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A
9、.5B.6C.8D.10 解析 由题干图易得ymink32，则k5.ymaxk38.C热点三 三角函数的性质(1)三角函数的单调区间：ysin x 的单调递增区间是2k2，2k2(kZ)，单调递减区间是2k2，2k32(kZ)；ycos x的单调递增区间是2k ，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k (kZ)；ytan x 的递增区间是(k2，k2)(kZ).(2)yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当 k2(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 xk2(kZ)求得.yAcos(x)，当 k2(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得.yAtan(x)，当k
10、(kZ)时为奇函数.例3(2015安徽)已知函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；解 因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x 1sin 2xcos 2x 2sin2x4 1，所以函数 f(x)的最小正周期为 T22.(2)求 f(x)在区间0，2 上的最大值和最小值.解 由(1)的计算结果知，f(x)2sin2x4 1.当 x0，2 时，2x44，54，由正弦函数 ysin x 在4，54 上的图象知，当 2x42，即 x8时，f(x)取最大值 21；当 2x454，即 x2时，f(x)取最小值 0.综上，f(x)在0，2
11、 上的最大值为 21，最小值为 0.思维升华 函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.跟踪演练3 设函数f(x)2cos2xsin 2xa(aR).(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；解 f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xa 2sin(2x4)1a，则 f(x)的最小正周期 T22，且当 2k22x42k2(kZ)，即 k38xk8(kZ)时，f(x)单调递增.所以k
12、38，k8(kZ)为 f(x)的单调递增区间.(2)当 x0，6时，f(x)的最大值为 2，求 a 的值，并求出 yf(x)(xR)的对称轴方程.解 当 x0，6时42x4712，当 2x42，即 x8时 sin(2x4)1.所以 f(x)max 21a2a1 2.由 2x4k2(kZ)，得 xk2 8(kZ)，故 yf(x)的对称轴方程为 xk2 8，kZ.高考押题精练 1 2 31.已知函数 f(x)sin xcos x(0)在(2，)上单调递减，则 的取值范围是()A.12，54 B.12，34C.(0，12 D.(0,21 2 3押题依据 结合三角变换考查三角函数的性质是高考常见的题型
13、.本题中函数在(2，)上单调递减和函数的单调减区间是(2，)是不同的概念，要加以辨析.解析 f(x)sin xcos x 2sin(x4)，令 2k2x42k32(kZ)，1 2 3解得2k 4x2k 54(kZ).由题意，函数 f(x)在(2，)上单调递减，故(2，)为函数单调递减区间的一个子区间，故有2k 42，2k 54，1 2 3解得 4k122k54(kZ).由 4k122k54，解得 k0，可知k0，因为kZ，所以 k0，故 的取值范围为12，54.答案 A 1 2 32.如图，函数 f(x)Asin(x)(其中 A0，0，|2)与坐标轴的三个交点 P、Q、R 满足 P(2,0)，
14、PQR4，M 为QR 的中点，PM2 5，则 A 的值为()A.83 3B.1633C.8 D.161 2 3押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查了数形结合思想.解析 由题意设Q(a,0)，R(0，a)(a0).则 M(a2，a2)，由两点间距离公式得，PM2a22a222 5，解得 a8，1 2 3由此得，T2826，即 T12，故 6，由 P(2,0)得 3，代入 f(x)Asin(x)得，f(x)Asin(6x3)，从而 f(0)Asin(3)8，得 A1633.答案 B 1 2 33.设函数 f(x)sin(2x3)33 sin2x 33 co
15、s2x.(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数 f(x)的图象向右平移3个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求 g(x)在区间6，3上的值域.押题依据 三角函数图象性质的综合考查体现了数形结合的思想，是高考考查的重点.1 2 3解(1)f(x)12sin 2x 32 cos 2x 33 cos 2x12sin 2x 36 cos 2x 33 sin(2x6).所以 f(x)的最小正周期为 T22.令 2x6k2(kZ)，得对称轴方程为 xk2 6(kZ).1 2 3(2)将函数 f(x)的图象向右平移3个单位长度，得到函数 g(x)33 sin2(x3)6 33 cos 2x 的图象，即 g(x)33 cos 2x.当 x6，3时，2x3，23，可得 cos 2x12，1，1 2 3所以 33 cos 2x 33，36，即函数 g(x)在区间6，3上的值域是 33，36.谢谢观看 更多精彩内容请登录：
