1、巧用圆锥曲线定义,妙求最值问题四川省阆中市水观中学 李葆春 邮码:637423圆锥曲线许多性质都是由其定义派生出来的,如果能从它的定义出发,挖掘其性质,把定量的计算与定性的分析有机地结合起来,则可达到事半功倍的效果.下面举例说明：例1,如图的示,定长为5的线段AB的两个端点在抛物线y=4x上移动,试求线段AB的中点M到y轴的最短距离。 分析：可结合抛物线的定义及平面几何中的梯形,三角形知识来综合处理,解：取AB的中点M,分别过A、B作抛物线准线的垂线, 垂足为P、Q、N,在直角梯形APQB中, |AM|=|MB|,|MN|=(|PA|+|QB|),又|PA|=|AF|,|QB|=|FB|,|M
2、N|=(|AF|+|BF|),由几何性质知道:|AF|+|BF|AB|=5,当且仅当AB过过焦点F时取等号,|MN|,即当|AB|为焦点弦时,|MN|有最小值,此时M到y轴的最短距离为-1=例2已知、是双曲线的左、右焦点,A是双曲线右支上的动点若点M(5,1)求|AM|+|A|的最小值; 若点M(5,n)求|AM|+|A|的最小值。解：如图示,由双曲线的定义知,|AM|+|A|=|AM|+|A|-2a,而点M在双曲线右支的内部,当点A在线段M上时, |AM|+|A|最小,故所求的最小值为|M|-2a=-8。类似于(1)可知,当点M在双曲线右支的内部,即|n|时, |AM|+|A|=|AM|+|
3、A|-2a|M|-2a=-8;当点M在双曲线右支的外部或其上,即|n|,|AM|+|A|M|=|n|故当|n|时, |AM|+|A|的最小值为-8;,当|n|时, |AM|+|A|的最小值为|n|。点评：解决这类综合性较强的双曲线问题时,应注意画图分析,充分利用图形的形象直观性,并注意运用双曲线的定义,对所求解的问题进行恰当地转化,使问题能够顺利地解决。例3、已知椭圆+=1的左焦点为F,椭圆内有一个定点A(4,1),P为椭圆上任意一点,试求：当|PA|+|PF|取最小值时,求P点的坐标。|PF|+|PA|的最大值,求P点的坐标。分析: 如果设P(x,y)因 |PA|+|PF|与系数e有关系,考
4、虑左准线,巧妙运用椭圆的第二定义把|PF|转化为点P到左准线的距离。因|PF|+|PA|与系数e没有关系,不能考虑左准线,就利用椭圆的第一定义。解： a=5, b=4, e=,左准线X= ,过点P作左准线的垂线,垂足为N,过A作此准线的垂线,垂足为M,由椭圆的第二定义|PN|=|PF|,于是|PA|+|PF|=|AP|+|PN|AN|AM|(|AM|为定值),当且仅当P点是线段AM与椭圆的交点时等号成立,可得P(-,2)如图,设椭圆的右焦点为F,则|PF|+|PA|=2a-|PF|+|PA|=2a+|PA|-|PF|连结A F并双向延长交椭圆于BC两点,如图所示,则|PA|-|P F|A F|
5、所以-|A F|PA|-|P F|A F|PF|+|PA|=2a+|PA|-|P F|2a+|A F|=10+ 当且仅当P与B重合时,等号成立.所以(|PF|+|PA|)max=10+说明：由上述求解过程中可知:椭圆上任一点P到椭圆内一定点A及一焦点F的距离之和存在着最大值,这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点F的距离,即为2a+|A F|。与此相类似,我们可求得本例中|PF|+|PA|的最小值为10-,一般地,|PF|+|PA|的最小值为2a-|A F|。点评：对于曲线上的点到到定点与焦点的距离之和的最小值问题,一般可转化为用曲线定义和平几知识等基本相结合,在思维和深度方面有一定的考查,否则会如果引进变量来求最值,会陷入复杂的运算,而从定义入手,大大简化了运算,少算多思。2
