1、北京市大兴区2020-2021学年高二数学下学期期末考试检测试题（含解析）本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知，则（ ）A. B. C. D. 2. 的展开式中常数项为（ ）A. 1 B. 6 C. 15 D. 203.从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，不同方法的种数是（ ）A. B. C. D. 4.随机变量的分布列如下表所示：12340.10.3则（ ）A. 0
2、.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.45.已知随机变量，则（ ）A. 0.16 B. 0.42 C. 0.5 D. 0.846.以下4幅散点图所对应的样本相关系数最大的是（ ）A. B. C. D. 7. 甲和乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么摸出红球的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 若，则下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 9. 若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（
3、）A. B. C. D. 10. 在下列函数；中，满足在定义域内恒成立的函数个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知，则_.12. 甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为_.13. 随机变量的分布列如图所示，则_.0114. 杨辉三角如图所示，在我国南宁数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中，就已经出现了这个表，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律. 图中第7行从左到右第4个数是_；
4、第行的所有数的和为_.15. 已知函数，现有下列结论：至多有三个零点；，使得，；当时，在上单调递增.其中正确的结论序号是_.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题14分）甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，甲、乙之间互不影响.（1）求甲、乙都命中目标的概率；（2）求目标至少被命中1次的概率；（3）已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.17.（本小题14分）某学校学生会有10名志愿者，其中高一2人，高二3人，高三5人，现从这10人中任意选取3人参加一个冬奥会志愿活动.（1）求选取的3个人来自同
5、一年级的概率；（2）设表示选取的志愿者是高二学生的人数，求的分布列和期望.18.（本小题14分）已知函数.（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的值；（2）求在区间上的最大值与最小值.19.（本小题14分）某商场举行有奖促销活动，顾客消费每满400元，均可抽奖一次.抽奖箱里有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.抽奖方案由如下两种，顾客自行选择其中的一种.方案一：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，获现金100元.方案二：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则获现金200元；若摸出1个红球，则获现金100元；若没摸出红球，则不获得钱.（1）若顾客消费满40
6、0元，且选择抽奖方案一，求他所获奖金的分布列和期望；（2）若顾客消费满800元，且选择抽奖方案二，求他恰好获得200元奖金的概率；（3）写出抽奖一次两种方案所获奖金期望的大小关系.（直接写出结果）20.（本小题14分）已知函数.（1）求的极值；（2）若关于的方程无实数解，求实数的取值范围；（3）写出经过原点且与曲线相切的直线有几条？（直接写出结果）21.（本小题15分）已知函数.（1）求证：当时，；（2）设斜率为的直线与曲线交于两点，证明：.参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1已知，则f（x）（）ABCD解：，故选：D2的展开式中常数项为（）A1B6C15D20解：的展开
7、式的通项公式为 Tr+1x62r，令62r0，求得r3，可得展开式中常数项为20，故选：D3从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，不同方法的种数是（）ABC35D53解：根据题意，从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，是排列问题，有A53种不同方法，故选：A4随机变量X的分布列如表所示：X1234P0.1m0.32m则P（X2）（）A0.1B0.2C0.3D0.4解：由分布列的性质可得，0.1+m+0.3+2m1，可得m0.2，所以P（X2）P（X1）+P（X2）0.1+0.20.3故选：C5已知随机变量XN（1，2），P（X2）0.84，则P（X0）（）A0.16B0.42C0.
8、5D0.84解：因为随机变量XN（1，2），则1，又P（X2）0.84，所以P（X0）P（X2）1P（X2）10.840.16故选：A6以下4幅散点图所对应的样本相关系数最大的是（）Ar1Br2Cr3Dr4解：由题中给出的4幅散点图可以看出，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图3是正相关，相关系数大于0，其中图1的点相对更集中，所以相关性更强，故样本相关系数最大的是r1故选：A7甲和乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机
9、摸出1个球，那么摸出红球的概率为（）ABCD解：由题可知，摸出红球有两种情况，第一种：从甲箱中摸出红球，概率为，第二种：从乙箱中摸出红球，概率为，所以摸出红球的概率为+，故选：B8若0x1x21，则下列不等式正确的是（）Ax1lnx1x2lnx2Bx1lnx1x2lnx2Cx2lnx1x1lnx2Dx2lnx1x1lnx2解：令f（x）xlnx，则f（x）1+lnx，当0x1时，f（x）的正负不能确定，故x1lnx1与x2lnx2的大小不能确定，故选项A，B错误；令，则g（x），当0x1时，g（x）0，则g（x）在（0，1）上单调递增，因为0x1x21，所以g（x1）g（x2），即，即x2ln
10、x1x1lnx2，故选项C正确，选项D错误故选：C9若函数在区间（a1，32a）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A（，1）B0，1）C（，2）D（0，1）解：令g（x）3xx3，x0，则g（x）33x23（1x2），令g（x）0，解得0x1；令g（x）0，解得x1，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减又f（1）2f（1），作出函数f（x）的大致图象，结合图象，由题意可得1a1132a，解得0a1，所以实数a的取值范围是0，1）故选：B10在下列函数f（x）x2+1；f（x）lnx；f（x）sinx；f（x）x2中，满足在定义域内f（x0）（xx0）+f（x0）f（x）
11、恒成立的函数个数是（）A1B2C3D4解：对于f（x）x2+1，f（x）2x，f（x0）（xx0）+f（x0）f（x）2x0（xx0）+x02+1（x2+1）2x0（xx0）+（x0x）（x0+x）（xx0）20，即f（x0）（xx0）+f（x0）f（x），故不满足题意；对于f（x）lnx，导数为f（x）（x0），设F（x）f（x0）（xx0）+f（x0）f（x）（xx0）+lnx0lnx，F（x），当xx0时，F（x）0，F（x）递增；当0xx0时，F（x）0，F（x）递减所以F（x）在xx0处取得最小值0，即F（x）0，故符合题意；对于f（x）sinx，导数为f（x）cosx，设F（x）f
12、（x0）（xx0）+f（x0）f（x）cosx0（xx0）+sinx0sinx，F（x）cosx0cosx，由F（x）0，可得x有无数个解，故不符合题意；对于f（x）x2，导数为f（x）2x，f（x0）（xx0）+f（x0）f（x）2x0（xx0）x02（x2）2x0（xx0）（x0x）（x0+x）（xx0）20，即f（x0）（xx0）+f（x0）f（x），故满足题意故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11已知f（x）xex，f（x0）0，则x01解：f（x）xex，f（x）（1+x）ex，f（x0）（1+x0）ex00x01，故答案为：112甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯
13、的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为 0.6解：设第一个路口遇到红灯为事件A，第二个路口遇到红灯为事件B，则P（A）0.5，P（AB）0.3，所以P（B|A）0.6，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为0.6故答案为：0.613随机变量的分布列如表所示，则D（）01Pp解：由题意可得，则，所以E（）0+1，D（）（0）2+（1）2故答案为：14杨辉三角如图所示，在我国南宁数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中，就已经出现了这个表，它揭示了（a+b）n（nN）展开式的项数及各项系数的有关规律图
14、中第7行从左到右第4个数是 20；第n行的所有数的和为 2n1解：根据题意，在图中，第1行有1个数，为1，第2行有2个数，依次为、，第3行有3个数，依次为、，则第7行有7个数，依次为、，故第7行从左到右第4个数是20，第n行有n个数，依次为、，其和为+2n1，故答案为：20，2n115已知函数f（x）exax2，aR，现有下列结论：f（x）至多有三个零点；a2，+），使得x（0，+），f（x）0；当时，f（x）在R上单调递增其中正确的结论序号是 解：函数f（x）的零点个数，即方程f（x）0的解的个数，因为当x0时，f（x）10，所以0不是方程f（x）0的解，所以方程f（x）0的解的个数等价于方
15、程的解的个数，令，则，当x0或x2时，g（x）0，所以g（x）在（，0）和（2，+）上单调递增，当0x2时，g（x）0，所以g（x）在（0，2）上单调递减，当x0时，g（x）+，当x0+时，g（x）+，当x+时，g（x）+，又，作出函数的大致图象，因为方程的解的个数等价于直线ya与图象交点的个数，所以数形结合直线ya与图象最多3个交点，故函数f（x）至多由3个零点正确x（0，+），f（x）0，等价于，由的分析可知，当x0时，所以，由，所以不存在a2，+），使得x（0，+），f（x）0，错误f（x）ex2ax，当a0时，f（x）ex0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增；当时，令h（x）ex
16、2ax，h（x）ex2a，令h（x）0，解得xln2a，当xln2a时，h（x）0，h（x）在（，ln2a）上单调递减；当xln2a时，h（x）0，h（x）在（ln2a，+）上单调递增，所以h（x）minh（ln2a）2a2aln2a2a（1ln2a）0，所以f（x）0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增故正确故答案为：三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，甲、乙之间互不影响（1）求甲、乙都命中目标的概率；（2）求目标至少被命中1次的概率；（3）已知目标至少被命中1次
17、，求甲命中目标的概率解：（1）设甲、乙都命中目标为事件A，则p（A）0.60.50.3（2）设目标至少被命中1次为事件B，则p（B）0.6（10.5）+（10.6）0.5+0.60.50.8（3）设甲命中目标为事件C，p（BC）0.6（10.5）+0.60.50.6，p（C|B）17某学校学生会有10名志愿者，其中高一2人，高二3人，高三5人，现从这10人中任意选取3人参加一个冬奥会志愿活动（1）求选取的3个人来自同一年级的概率；（2）设X表示选取的志愿者是高二学生的人数，求X的分布列和期望解：（1）由题意可知，选取的3个人来自同一年级的概率为；（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，
18、则P（X0）；P（X1）；P（X2）；P（X3）；所以X的分布列为：X 0 12 3 P 故E（X）0+1+2+318已知函数f（x）x3+x2x（1）若曲线yf（x）在点（x0，f（x0）处的切线斜率为，求x0的值；（2）求f（x）在区间1，1上的最大值与最小值解：（1）函数f（x）的定义域为R，求导得f（x）3x2+2x1，因为曲线yf（x）在点（x0，f（x0）处的切线斜率为，所以，即，解得（2）令f（x）0，即3x2+2x10，解得x1，或，因为x1，2，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如表所示：x11f（x）00+f（x）1单调递减单调递增1所以f（x）在区间1，1上的最大值
19、是 1，最小值是19某商场举行有奖促销活动，顾客消费每满400元，均可抽奖一次抽奖箱里有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同抽奖方案由如下两种，顾客自行选择其中的一种方案一：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，获现金100元方案二：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则获现金200元；若摸出1个红球，则获现金100元；若没摸出红球，则不获得钱（1）若顾客消费满400元，且选择抽奖方案一，求他所获奖金X的分布列和期望；（2）若顾客消费满800元，且选择抽奖方案二，求他恰好获得200元奖金的概率；（3）写出抽奖一次两种方案所获奖金期望的大小关系（直接写出结
20、果）解：（1）顾客消费满400元，获得一次抽奖机会，由方案一的规则，每次摸到红球的概率是，所以X的可能取值为0，100，200，则P（X0），P（X100），P（X200），故X的分布列为：X 0100200 P 所以E（X）0+100+200100；（2）因为顾客消费满800元，所以他可以抽奖2次，他恰好获得200元奖励有两种可能：一次200元，一次0元或者两次各得100元，所以他恰好获得200元奖金的概率为；（3）若选择方案一：由（1）可知，所获奖金X的期望为100元，若选择方案二：设所获奖金为随机变量Y，则Y的可能取值为0，100，200，所以P（Y0），P（Y100），P（Y200），
21、所以E（Y）0+100+200100，所以两种方案所获得奖金的数学期望相等20已知函数（1）求f（x）的极值；（2）若关于x的方程f（x）ax无实数解，求实数a的取值范围；（3）写出经过原点且与曲线yf（x）相切的直线有几条？（直接写出结果）解：（1）函数，则f（x）的定义域为（0，+），且f（x），令f（x）0，解得x1，当0x1时，f（x）0，则f（x）单调递增，当x1时，f（x）0，则f（x）单调递减，所以当x1时，f（x）有极大值f（1）1，无极小值；（2）因为关于x的方程f（x）ax无实数解，等价于方程1+lnxax20无实数解，令g（x）1+lnxax2（x0），等价于函数g（x）
22、无零点，g（x），当a0时，g（x）0对x（0，+）恒成立，所以g（x）在（0，+）上单调递增，又g（1）1a0，g（ea2）a（1e2a4）10，所以函数g（x）有零点，不符合题意；当a0时，令g（x）0，解得或（舍），当0xx0时，g（x）0，则g（x）单调递增，当xx0时，g（x）0，则g（x）单调递减，所以当时，g（x）取得最大值，故当0，即时，函数g（x）无零点，当0，即时，g（e1）ae20，所以函数g（x）有零点，不符合题意综上所述，实数a的取值范围为（3）设切点坐标为，因为f（x），故切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线经过坐标原点，则有，即t，所以切点只有一个，故经过原点且
23、与曲线yf（x）相切的直线有1条21已知函数f（x）lnx（1）求证：当x1时，；（2）设斜率为k的直线与曲线ylnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2），证明：解：（1）证明：令g（x）lnx+1，g（x），所以当x1时，g（x）0，g（x）单调递增，所以g（x）g（1）0，所以lnx1（2）证明：因为斜率为k的直线与曲线ylnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2），所以y1lnx1，y2lnx2，k，要证k，只需证，即证，只需证lnx2lnx1，只需证1ln1，令t（t1），即证1lntt1，由（1）得t1时，lnt1，令h（x）lnxx+1，求导得h（x）1，所以当x1时，h（x）0，h（x）单调递减，所以h（x）h（1）0，所以lnxx+10，所以当t1时，lntt1，综上，当t1时，1lntt1，所以k
