1、课时素养评价十一基本不等式的证明(15分钟35分)1.已知a+2b=2(a0,b0),则ab的最大值为()A.B.2C.3D.【解析】选A.因为a0,b0,所以a+2b2,所以22,所以ab,当且仅当a=1,b=时,等号成立.2.不等式+(x-2)6(其中x2)中等号成立的条件是()A.x=3B.x=6C.x=5D.x=10【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为=x-2,即x=5(x=-1舍去).3.设非零实数a,b,则“a2+b22ab”是“+2”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为a,bR时,都有a2+b2-2ab=(a
2、-b)20,即a2+b22ab,而+2ab0,所以“a2+b22ab”是“+2”的必要不充分条件.4.函数y=1-2x-(x0)的最小值为_.【解析】因为x0,所以y=1-2x-=1+(-2x)+1+2=1+2,当且仅当x=-时取等号,故y的最小值为1+2.答案:1+25.若0a1,0b1,ab,则a+b,2,2ab,a2+b2中最大的一个是_.【解析】因为0a1,0b2,a2+b22ab.所以四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).又因为0a1,0b1,所以a(a-1)0,b(b-1)0,所以a2+b2-(a+b)0,即a2+b20)
3、的最小值.【解题指南】(1)利用一元二次方程根与系数的关系求a,b.(2)利用基本不等式求最小值.【解析】(1)由题意知:解得a=1,b=2.(2)由(1)知a=1,b=2,所以(2a+b)x-=4x+,而x0时,4x+2=26=12.当且仅当4x=,即x=时取等号.所以(2a+b)x-(x0)的最小值为12.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()A.avB.v=C.vD.v=【解题指南】先写出全程的平均时速为v的表达式,再利用基本不等式与作差法比较即可.【解析】选A.设甲、乙两地相距s,则小王用时为
4、+,因为ab,所以v=0,所以va.2.已知当x=a时,代数式x-4+(x-1)取得最小值b,则a+b=()A.-3B.2C.3D.8【解析】选C. 令y=x-4+=x+1+-5,由x-1,得x+10,0,所以由基本不等式得y=x+1+-52-5=1,当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,即x+1=3,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3.3.已知不等式(x+y)9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.9D.16【解析】选B.(x+y)=1+a+1+a+2=(1+)2.当且仅当=时取等号.所以(1+)29,所以a4.4.如图所示,4个长为a,宽为b的长方
5、形,拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法中错误的是()A.(a+b)24abB.当a=b时,A1,B1,C1,D1四点重合C.(a-b)24abD.(a+b)2(a-b)2【解析】选C.由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和,即有(a+b)24ab;正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2,结合图形可知(a+b)2(a-b)2,且当a=b时A1,B1,C1,D1四点重合,但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
6、5.设a,bR,且ab,a+b=2,则必有()A.ab1B.ab1C.1【解析】选BD.因为ab,ab,所以ab1,又1=1,所以ab11C.a0,所以+a2=4D.因为x,yR,xy0,所以+=-+-2=-2【解析】选AD.因为a,b为正实数,所以,为正实数,符合基本不等式的条件,故A正确;当x=0时,有=1,故B不正确;当a0时,+a2=4是错误的,C不正确;由xy0,则函数y=的最小值为_.【解析】因为t0,所以y=t+-42-4=-2,且在t=1时取等号.答案:-28.规定记号“”表示一种运算,即ab=+a+b(a,b为正实数).若1k=3,则k的值为_,此时的最小值为_.【解析】1k
7、=+1+k=3,即k+-2=0,所以=1或=-2(舍),所以k=1.=1+1+2=3,当且仅当=,即x=1时等号成立.答案:13四、解答题(每小题10分,共20分)9.求t=x+的取值范围.【解析】当x0时,x+2=2,当且仅当x=,即x=1时,“=”成立,所以x+2.当xbc,求证:(a-c)4.【证明】因为a-c=(a-b)+(b-c),所以(a-b)+(b-c)=2+,又abc,所以+2,故(a-c)4,当且仅当=时,取“=”.1.已知a0,b0,则+2的最小值是()A.2B.2C.4D.5【解析】选C.+22+24=4.当即a=b=1时,等号成立,因此+2的最小值为4.2.已知x1x2x2 020=1,且x1,x2,x2 020都是正数,求(1+x1)(1+x2)(1+x2 020)的最小值.【解析】因为x1x2x2 020=1,且x1,x2,x2 020都是正数,所以(1+x1)(1+x2)(1+x2 020)222=22 020=22 020.当且仅当x1=x2=x2 020=1时,取“=”.故所求最小值为22 020.
