1、第 4 节 二倍角公式考试要求 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.知 识 梳 理二倍角公式sin 22sin_cos_，cos 2cos2sin22cos2112sin2，tan 22tan 1tan2.常用结论与易错提醒二倍角公式变形(1)升降幂公式：cos21cos 22；sin21cos 22；sin cos 12sin 2.(2)配方变形公式：1cos 22cos2；1cos 22sin2；12sin cos(sin cos)2.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都成立.()(2)二倍角正切公式左右两端有意义的范围不完全相同.()(3)在使左右两
2、端都有意义的条件下，二倍角正切公式才成立.()(4)不存在，使 tan 22tan.()解析 当 0 时，tan 22tan，(4)不正确，如 0.答案(1)(2)(3)(4)2.(2020金华十校期末调研)已知 x2，2，sin x35，则 tan 2x()A.724B.724C.247D.247解析 因为 x2，2，sin x35，所以 cos x1sin2x45，tan xsin xcos x34，则 tan 2x 2tan x1tan2x247，故选 D.答案 D3.若 52，72，则 1sin 1sin 的值为()A.2cos 2B.2cos 2C.2sin 2D.2sin 2解析
3、52，72，54 274，1sin 1sin sin2cos2 sin2cos2sin2cos2 sin2cos2 2sin2.答案 D4.已知函数 f(x)cos24x cos24x，则 f12 的值为()A.12B.12C.32D.32解析 4x 4x 2，cos4x sin4x，f(x)cos24x cos24xcos24x sin24xcos22xsin 2x，故 f12 sin612.答案 B5.已知 tan4 2，则 cos 2 的值是_.解析 因为 tan4 2，所以 cos 2sin22 2sin4 cos4sin24 cos242tan4tan24 145.答案 456.若
4、sin 13，tan 0，则 cos _，tan 2_.解析 由题意知，因为 sin 0，tan 0，所以 cos 0，又 sin2cos21，故cos 2 23，又由 tan sin cos 24，tan 2 2tan 1tan2，可知 tan 24 27.答案 2 23 4 27考点一 二倍角公式的正用【例 1】(1)(2019全国卷)已知 0，2，2sin 2cos 21，则 sin()A.15B.55C.33D.2 55(2)已知 sin cos 43，则 sin 2()A.79B.29C.29D.79解析(1)由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 2cos2.又 0，2
5、，所以 2sin cos，又 sin2cos21，所以 sin215，所以 sin 55.(2)sin 22sin cos（sin cos）21179.答案(1)B(2)A规律方法 二倍角公式与其他公式应用时注意：“化异为同”，即“化异次为同次，化异角为同角”.【训练 1】(1)(一题多解)已知 为锐角，且 tan 34，则 sin 2()A.35B.45C.1225D.2425(2)若 cos 22cos4，(0，)，则 sin 2_，tan _.解析(1)法一 sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan tan2123491612425，故选 D.法二 由 为锐角，且 tan
6、 34，得 sin 35，cos 45，所以 sin 22sin cos 235452425，故选 D.(2)cos 22cos4，(0，)，得 cos2sin2 2cos 2sin，(0，)，即(cos sin)(cos sin)2(cos sin)，(0，)，当 cos sin 0 时，4；当 cos sin 0 时，式化简为 cos sin 2，(0，)，即 sin4 1，(0，)，即 4，综上所述，4，则 sin 2sin21，tan tan41.答案(1)D(2)1 1考点二 二倍角公式的逆用【例 2】(1)4cos 50tan 40()A.2B.2 32C.3D.2 21(2)co
7、s 20cos 40cos 60cos 80_.解析(1)原式4sin 40sin 40cos 404cos 40sin 40sin 40cos 402sin 80sin 40cos 402sin（12040）sin 40cos 40 3cos 40sin 40sin 40cos 40 3cos 40cos 40 3，故选 C.(2)原式cos 20cos 4012cos 8012sin 20cos 20cos 40cos 80sin 2014sin 40cos 40cos 80sin 2018sin 80cos 80sin 20116sin 160sin 20 116.答案(1)C(2)11
8、6规律方法 利用二倍角公式可对形如 cos cos 2cos 4cos 2n 的式子进行化简和计算.【训练 2】(1)化简：2cos42cos2122tan4 sin24_.(2)计算：3tan 123sin 12（4cos2122）_.解析(1)原式12（4cos44cos21）2sin4cos4cos24（2cos21）24sin4 cos4cos222sin22 cos222cos 212cos 2.(2)原式3sin 12cos 12 32sin 12cos 24 2 312sin 12 32 cos 12cos 122sin 12cos 24 2 3sin（1260）2sin 12c
9、os 12cos 242 3sin（48）sin 24cos 242 3sin 4812sin 484 3.答案(1)12cos 2(2)4 3考点三 二倍角公式的变形应用【例 3】化简下列各式(1)22cos 82 1sin 8的化简结果是_.(2)（1sin cos）cos2sin222cos(0)_.解析(1)原式 4cos242（sin 4cos 4）22|cos 4|2|sin 4cos 4|，因为54432，所以 cos 40，且 sin 4cos 4，所以原式2cos 42(sin 4cos 4)2sin 4.(2)原式2cos222sin2cos2 cos2sin24cos22
10、cos2cos22sin22cos2cos2cos cos2.因为 0，所以 020，所以原式cos.答案(1)2sin 4(2)cos 规律方法 二倍角公式的常见变形有 1cos 22sin2，1cos 22cos2，12sin cos(sin cos)2，及 cos21cos 22，sin21cos 22，sin cos 12sin 2等.【训练 3】求值：1cos 202sin 20 sin 101tan 5tan 5.解 原式2cos21022sin 10cos 10sin 10cos 5sin 5sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin
11、5cos 5 cos 102sin 10sin 10 cos 1012sin 10 cos 102sin 102cos 10cos 104sin 10cos 102sin 10cos 102sin 202sin 10cos 102sin（3010）2sin 10cos 10212cos 10 32 sin 102sin 10 3sin 102sin 10 32.基础巩固题组一、选择题1.化简 2sin 21cos 2 cos2cos 2的结果为()A.tan B.tan 2C.1 D.12解析 原式2sin 22cos2 cos2cos 2sin 2cos 2tan 2.答案 B2.若 tan
12、 13，则 cos 2()A.45B.15C.15D.45解析 tan 13，则 cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan245.答案 D3.cos9cos29 cos239()A.18B.116C.116D.18解析 cos9cos29 cos239 cos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80sin 20cos 20cos 40cos 80sin 2012sin 40cos 40cos 80sin 2014sin 80cos 80sin 2018sin 160sin 20 18sin 20sin 20 18.答案 A4.化简
13、 sin26 sin26 sin2 的结果是()A.32B.22C.12D.13解析 原式1cos2321cos232sin2112cos23 cos23 sin21122cos 2cos 31cos 2212.答案 C5.设 a12cos 2 32 sin 2，b 2tan 141tan214，c1cos 502，则有()A.acbB.abcC.bcaD.cab解析 由题意可知，asin 28，btan 28，csin 25，cab.答案 D6.(2019全国卷)函数 f(x)2sin xsin 2x 在0，2的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5解析 令 f(x)0，得 2sin
14、xsin 2x0，即 2sin x2sin xcos x0，2sin x(1cos x)0，sin x0 或 cos x1.又 x0，2，由 sin x0 得 x0，或 2，由 cos x1 得 x0 或 2.故函数 f(x)的零点为 0，2，共 3 个.故选 B.答案 B二、填空题7.若 cos3 13，则 sin26 的值是_.解析 sin26 sin23 2 cos 23 2cos23 1219179.答案 798.已知 0，2，且 sin4 210，则 tan 2_.解析 sin4 210，得 sin cos 15，0，2，平方得 2sin cos 2425，可求得 sin cos 7
15、5，sin 45，cos 35，tan 43，tan 2 2tan 1tan2 247.答案 2479.已知 cos4sin423，且 0，2，则 cos23 _.解析 cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 223，又 0，2，2(0，)，sin 2 1cos22 53，cos23 12cos 2 32 sin 21223 32 53 2 156.答案 2 15610.已知 0，4，且 sin cos 144，则2cos21cos4_.解析 sin cos 144，即 cos sin 144，2cos4 144，即cos4 74.0，4，4432，所以 f4 f6.(
16、2)因为 f(x)2sin x(12sin2x)2sin2x2sin x12sin x12232，令 tsin x，t1，1，所以 y2t12232，因为对称轴 t12，根据二次函数性质知，当 t1 时，函数取得最大值 3.12.(2019七彩阳光联盟三联)已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 y2x 上.(1)求 cos 2 的值；(2)若角 满足 tan(2)1，求 tan 的值.解(1)由已知得 tan 2，所以 cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan235.(2)由(1)知 tan 2 2tan 1tan243，而 t
17、an tan2(2)tan 2tan（2）1tan 2tan（2）431143 17.能力提升题组13.(2018全国卷)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos 223，则|ab|()A.15B.55C.2 55D.1解析 由题意知 cos 0.因为 cos 22cos2123，所以 cos 306，sin 66，得|tan|55.由题意知|tan|ab12，所以|ab|55.故选 B.答案 B14.已知不等式 f(x)3 2sin x4cos x4 6cos2x4 62 m0 对于任意的56 x6恒成立，则实数 m 的取值
18、范围是()A.3，)B.(，3)C.(，3 D.3，3解析 f(x)3 22 sin x2 62 2cos2x41 m 632 sin x212cos x2 m0，m 6sin x26，x56，6，令 g(x)6sinx26，x56，6，4x264，g(x)min 3，m(，3.答案 C15.(一题多解)(2019江苏卷)已知tan tan423，则 sin24 的值是_.解析 法一 由tan tan4 tan tan 11tan tan（1tan）tan 123，解得 tan 2 或13.sin24 22()sin 2cos 2 22(2sin cos 2cos21)2(sin cos co
19、s2)22 2sin cos cos2sin2cos2 22 2tan 1tan21 22，将 tan 2 和13分别代入得 sin24 210.法二 tan tan4sin cos4cos sin423，sin cos4 23cos sin4.又 sin 4sin4 sin4 cos cos4 sin 22，由解得 sin cos4 25，cos sin4 3 210.sin24 sin4sin cos4 cos sin4 210.答案 21016.若 4，2，sin 23 78，则 sin _；cos23 _.解析 因为 sin 23 78，4，2，所以 sin 0，cos 0，且 sin
20、 cos，所以(sin cos)21sin 21623 7163 742，所以 sin cos 3 74，同理可得 sin cos 3 74，所以 sin 34.因为 4，2，sin 23 78，所以 cos 218，所以 cos23 12cos 2 32 sin 23 21116.答案 34 3 2111617.已知函数 f(x)2cos x(3sin xcos x)1.(1)求 f6 的值；(2)若 f(x0)23，x00，2，求 sin 2x0 的值.解(1)因为 f(x)3sin 2xcos 2x2sin2x6，所以 f6 2sin36 2sin 22.(2)由上可知 f(x0)2si
21、n2x06 23，所以 sin2x06 13.由 x00，2，得 2x066，76.由 0sin2x06 1312，知 2x0656，从而有 cos2x06 2 23，所以 sin 2x0sin2x06 613 32 2 2312 32 26.18.已知 f(x)sin x2sin4x2 cos4x2.(1)若 f()22，2，0，求 的值；(2)若 sin x0245，x02，求 f(x0)的值.解(1)由条件可得 f(x)sin xcos x 2sinx4.因为 f()22，2，0，所以 2sin4 22，sin4 12，因为 44，4，则 46，解得 12.(2)因为 sin x0245，x02，得 sin x02425，cos x0 725，所以 f(x0)1725.
