1、第八章8.38.3.1 A组素养自测一、选择题1若正方体的表面积为96，则正方体的体积为(B)A48B64C16D96解析设正方体的棱长为a，则6a296，解得a4，故Va343642将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的(B)ABCD解析设正方体的棱长为1，已知截去的每一个角都是一个三棱锥，且每个三棱锥的体积都等于，因此截去的四个三棱锥的体积为，则剩余的四面体的体积为.3将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(B)A6a2B12a2C18a2D24a2解析原来正方体表面积为S16a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长
2、为a，其表面积为62a2，总表面积S227a218a2，增加了S2S112a24若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(B)ABCD解析由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积V2V正四棱锥212.故选B5如图所示，三棱柱ABCABC中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面ECBF将三棱柱分成体积为V1(棱台AEFACB的体积)，V2的两部分，那么V1V2(A)A75B65C83D43解析设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则VV1V2Sh.因为E，
3、F分别为AC，AB的中点，所以SAEFS，所以V1hSh，V2VV1Sh.所以V1V275二、填空题6已知一个长方体的三个面的面积分别是，则这个长方体的体积为_.解析设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)26，故长方体的体积Vabc.7如图所示的三棱柱中，两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，则该几何体的表面积为_242_.解析该三棱柱的表面积为23(42)242.8如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_.解析V三棱锥ADED1V三棱锥EDD1A111.三、解答题9
4、如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO3，求此正三棱锥的表面积.解析如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点O作OEAB，与AB交于点E，连接SE，则SEAB，SEh.S侧2S底，3ah2a2ah.SOOE，SO2OE2SE2322h2h2，ah6S底a2629，S侧2S底18.S表S侧S底18927.10如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高.若VM4 cm，AB4 cm，VC5 cm，求锥体的体积.解析VM是棱锥的高，VMMC.在RtVMC中，MC3(cm)，AC2MC6(cm).在RtABC中，BC2(cm).S底ABBC
5、428(cm2)，V锥S底h84(cm3).棱锥的体积为 cm3B组素养提升一、选择题1(2020江苏高一期中)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为(B)A80B240C320D640解析由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，则该等腰梯形的高为8等腰梯形的面积为(416)880，该棱台的侧面积S380240故选B2(2020河北高一月考)某六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧面是矩形，侧棱长为4，则其表面积为(B)A1212B4812C646D726解析由题意知该六棱柱的侧面面积为42648，上、下底面的面积均为
6、2266，所以全面积等于4812.故选B3已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为(A)AS1S2BS1S24正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积为(A)A32B48C64D解析如图所示，在正四棱锥PABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥PABCD的高，PE为斜高，则OEPE，因为OEAB2，所以PE4，则S侧44432二、填空题5(2020江苏省扬州市检测)若正四棱锥的底面边长为2 cm，体积为8 cm3，则它的侧面面积为_4_cm2解
7、析该正四棱锥的底面边长为2 cm，体积为8 cm3，该四棱锥的高为3 cm，侧面等腰三角形的高为(cm)，故S侧424(cm2).6(2020山东济南高一学习质量评估)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，CE2EP.若三棱锥PEBD的体积为V1，三棱锥PABD的体积为V2，则的值为_.解析设四棱锥PABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，则V2ShSh.因为CE2EP，所以PEPC，所以V1VEPBDVCPBDVPBCDShSh，所以.三、解答题7如图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比.解析设ABa，ADb，DDc，则长方体ABCDABCD的体积Vabc，又SADDbc，且三棱锥CADD的高为CDa.V三棱锥CADDSADDCDabc.则剩余部分的几何体体积V剩abcabcabc.故V棱锥CADDV剩abcabc158(2020河北高一月考)如图，已知正六棱锥PABCDEF的表面积为18，且AB2，求正六棱锥PABCDEF的体积.解析取AB的中点M，连接OM，MP，如图.AB2，OM，SOAB2，S底6.由该正六棱锥的表面积为18，可得SPAB(186)62.又由SPABABPM2，得PM2，PO3VPABCDEF636.