1、章末综合测评(八)函数应用(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)(x21)的零点个数是()A1 B2 C3 D4B要使函数有意义，则x240，解得x2或x2由f(x)0得x240或x210(不成立舍去)，即x2或x2所以函数的零点个数为2故选B2函数f(x)log2x3x4的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)D函数y1log2x在区间(0，)上为增函数，函数y23x4为增函数，所以，函数f(x)log2x3x4在区间(0，)上为增函数，则该
2、函数最多有一个零点，又f(1)10，因此，函数f(x)log2x3x4的零点所在的一个区间是(1,2)故选D3一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的经过x年，剩留的物质是原来的则x为()A2 B3 C4 D5B先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y1，经过2年，y，那么经过x年，则y依题意得，解得x34对任意实数a，b，定义运算“”：ab设f(x)(x21)(4x)k，若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是()A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)D令g(x)(x21)(4x)其图象如图所示f(x)g
3、(x)k的图象与x轴恰有三个交点，即yg(x)与yk的图象恰有三个交点，由图可知1k2，即2k1故选D5某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示时间1234利润(千元)23988011599现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()Aylog2x By2xCyx2 Dy2xB画出散点图(图略)，由散点图可知，这种空调的函数模型为y2x6已知定义在R上的函数f(x)(x23x2)g(x)3x4，其中函数yg(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)0在下面哪个范围内必有实数根()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)Bf(x)(x23x2)g(x)3x4(x1)(x
4、2)g(x)3x4，则f(1)10所以根据函数零点的判断方法可知，函数f(x)在区间(1,2)内存在零点，即方程f(x)0在区间(1,2)内存在实数根7加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A350分钟 B375分钟C400分钟 D425分钟B由图形可知，三点(3,07)，(4,08)，(5,05)都在函数pat2btc的图象上，所以 ，解得a02，b15，c2，所以p02t215t202
5、2，因为t0，所以当t375时，p取最大值，故此时的t375分钟为最佳加工时间，故选B8为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：每户每月用水量水价不超过12 m3的部分3元/m3超过12 m3但不超过18 m3的部分6元/m3超过18 m3的部分9元/m3若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为()A20 m3 B18 m3C15 m3 D14 m3C设此户居民本月用水量为x m3，缴纳的水费为y元，则当x0,12时，y3x36元，不符合题意；当x(12,18时，y123(x12)66x36，令6x3654，解得x15，符合题意；当x(
6、18，)时，y12366(x18)99x9072，不符合题意综上所述：此户居民本月用水量为15 m3故选C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9已知函数f(x)xexax1，则关于f(x)的零点，叙述错误的是()A当a0时，函数f(x)有两个零点B函数f(x)必有一个零点是正数C当a0时，函数f(x)只有一个零点ACDf(x)0exa，在同一坐标系中作出yex与y的图象，可观察出A、C、D选项错误，应选ACD10设a为实数，则直线ya和函数yx41的图象的公共点个数可以是()A0 B
7、1 C2 D3ABC因为函数yx41为定义在R上的偶函数，且在(，0上为减函数，在0，)上为增函数，且函数的最小值为1，所以当a1时，直线ya和函数yx41的图象的公共点个数分别为0,1,2故选ABC11函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，点P，Q，R在f(x)的图象上，坐标分别为(1，A)，(1,0)，(x0,0)，PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f(x)的图象向右平移5个单位长度后得到函数g(x)的图象，则关于g(x)的说法中正确的是()Ag(x)是偶函数Bg(x)在区间0,4上是减函数Cg(x)的图象关于直线x2对称Dg(x)在1,3上的最小值为ABD由题意知2，所以8
8、，作PHx轴于点H(图略)，则QH2，又因为PQQR4，所以A2，因为f(x)的图象过Q(1,0)，所以2sin0，因为|，所以，所以f(x)2sin易知g(x)f(x5)2cos x，故选ABD12已知f(x)，当aM时，总存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则集合M可以是()A(，0 B(1，)C(，0) D(，0)(1，)BCD要使得g(x)f(x)b有两个零点，即f(x)b有两个根，必须有yf(x)与yb的图象有两个交点，由x3x2可得，x0或x1当a1时，函数yf(x)的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a1满足题意当a1时，由于函数yf(x)在定义域R上单调递增，故
9、不符合题意当0a1时，函数yf(x)单调递增，故不符合题意当a0时，函数yf(x)单调递增，故不符合题意当a0时，函数yf(x)的图象如图所示，此时存在b使得yf(x)与yb有两个交点综上可得a(，0)(1，)所以应选BCD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13函数f(x)x2x10的零点所在区间为(n，n1)，nZ，则n_2因为f(2)241040, 所以f(2)f(3)0，由函数零点存在定理知函数f(x)x2x10在区间(2,3)上有零点，所以n214用二分法研究函数f(x)x3ln 的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算
10、_(本题第一空2分，第二空3分)f由于f(0)0，故f(x)在上存在零点，所以x0，第二次应计算0和在数轴上对应的中点x115已知x表示不超过实数x的最大整数，如181，122x0是函数f(x)ln x的零点，则x0等于_2函数f(x)的定义域为(0，)，函数f(x)在(0，)上单调递增由f(2)ln 210，知x0(2，e)，x0216已知函数f(x) 其中a0，且a1，若函数yf(x)1有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1x2x30，则实数a的取值范围是_如图所示：当a1时，函数yf1有2个不同的零点，不满足；当0a1时，不妨设x1x22ax11，故xloga22，故0a四、解答题(本
11、大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)x3x2证明：存在x0，使f(x0)x0证明令g(x)f(x)xg(0)，gf，g(0)g1，f0，f0，f(x)2 020xlog2 020x在区间内存在零点易知f(x)在(0，)上是单调增函数，f(x)在(0，)内有且只有一个零点，根据奇函数的对称性可知，函数f(x)在(，0)内有且只有一个零点综上可知函数在R上的零点个数为319(本小题满分12分)某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.39
12、1.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)解以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示图(1) 图(2)观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示，取(4,2)为最高点，则ya(x4)22，再把点(1,0.65)代
13、入，得0.65a(14)22，解得a0.15，所以y0.15(x4)22.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示.设ykxb，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得解得所以y0.25x.即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y0.15(x4)22；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y0.25x.设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，那么所以W0.150.152.6.当xA3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB8.8(万元).即该经营
14、者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元.20(本小题满分12分)某型号的电视机每台降价x成(1成为10%)，售出的数量就增加mx成，mR(1)若某商场现定价为每台a元，售出量是b台，试建立降价后的营业额y与x的函数关系问当m时，营业额增加125%，每台降价多少元？(2)为使营业额增加，当xx0(0x00，即x0x0，解得m(0x00，a1)且f(0)0(1)求a的值；(2)若函数g(x)(2x1)f(x)k有零点，求实数k的取值范围；(3)当x(0,1)时，若f(x)m2x2恒成立，求实数m的取值范围解(1)由f(0)0得10，即a24
15、，解得a2(2)由(1)可知f(x)1，函数g(x)(2x1)f(x)k有零点方程2x1k0有解，即k12x有解，12x(，1)，k(，1)(3)f(x)，由f(x)m2x2得m(2x)2(m3)2x1m2x2mt2(m3)t10对于t(1,2)恒成立，设g(t)mt2(m3)t1，当m0时，m30，g(t)mt2(m3)t10在(1,2)上恒成立m0符合题意；当m0时，g(t)3t10时，只需m，00(1)若a2，求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式f(x)2x3对任意的实数x(1,0)恒成立，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)有4个不同的零点，求实数a的取值范围解(1)当a2时，f(x)x2|2x3|1 当x0，所以ax30，故不等式可化为x2ax312x3，即ax2，所以问题转化为不等式ax2对任意x(1,0)恒成立又yx2在(1,0)上单调递减，所以yx20显然，当x0，解得2a3，所以实数a的取值范围是(2，3)