1、练典型习题提数学素养一、选择题1若直线ax2y10与直线xy20互相垂直，则a的值等于()A1BC D2解析：选D.直线ax2y10的斜率k1，直线xy20的斜率k21，因为两直线相互垂直，所以k1k21，即()(1)1，所以a2.2半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x0和xy2均相切，则该圆的标准方程为()A(x1)2(y2)24B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)24D(x2)2(y2)24解析：选C.设圆心坐标为(2，a)(a0)，则圆心到直线xy2的距离d2，所以a2，所以该圆的标准方程为(x2)2(y2)24，故选C.3已知直线l：yx1平分圆C：(x1)2(yb)24
2、的周长，则直线x3与圆C的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不能确定解析：选B.由已知得，圆心C(1，b)在直线l：yx1上，所以b112，即圆心C(1，2)，半径为r2.由圆心C(1，2)到直线x3的距离d312r知，此时直线与圆相切4(2019重庆市七校联合考试)两圆x2y24x4y0和x2y22x80相交于M，N两点，则线段MN的长为()A. B4C. D.解析：选D.两圆方程相减，得直线MN的方程为x2y40，圆x2y22x80的标准方程为(x1)2y29，所以圆x2y22x80的圆心为(1，0)，半径为3，圆心(1，0)到直线MN的距离d，所以线段MN的长为2.故选D.5(一题多
3、解)在平面直角坐标系xOy中，设直线xym0与圆O：x2y28交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得ABC为等边三角形，则实数m的值为()A1 B2C2 D2解析：选B.通解：由题意知，点C和圆心O在直线AB的同侧，且圆心O在线段AB的垂直平分线上，设线段AB的中点为D，圆O的半径r2，则|CD|OD|r|AB|.因为|OD|，|AB|2，所以22，解得m2.优解：设圆O的半径为r，则r2，由圆周角ACB60，得圆心角AOB120，则圆心O到直线xym0的距离dr，所以，解得m2.6已知P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B分别是切
4、点，若四边形PACB的面积的最小值是2，则k的值为()A1 B.C. D2解析：选D.由题意知，圆C的圆心为C(0，1)，半径r1，四边形PACB的面积S2SPBC，若四边形PACB的面积的最小值是2，则SPBC的最小值为1.而SPBCr|PB|PB|1，则|PB|的最小值为2，此时|PC|取得最小值，而|PC|的最小值为圆心到直线的距离，所以，即k24，由k0，解得k2.二、填空题7已知直线l：xmy30与圆C：x2y24相切，则m_解析：因为圆C：x2y24的圆心为(0，0)，半径为2，直线l：xmy30与圆C：x2y24相切，所以2，解得m.答案：8(2019广州市调研测试)若点P(1，
5、1)为圆C：x2y26x0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为_解析：由圆的方程易知圆心C的坐标为(3，0)，又P(1，1)，所以kPC.易知MNPC，所以kMNkPC1，所以kMN2.由弦MN所在的直线经过点P(1，1)，得所求直线的方程为y12(x1)，即2xy10.答案：2xy109已知圆C：(x2)2y24，直线l1：yx，l2：ykx1.若直线l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为12，则k的值为_解析：依题意知，圆C：(x2)2y24的圆心为C(2，0)，半径为2.圆心C到直线l1：yx的距离为，所以直线l1被圆C所截得的弦长为22.圆心C到直线l2：ykx1的距离d，所以直线
6、l2被圆C所截得的弦长为2，由题意知2(2)12，解得d0，故直线l2过圆心C.所以2k10，解得k.答案：三、解答题10已知点P(0，5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程解：(1)如图所示，|AB|4，将圆C方程化为标准方程即(x2)2(y6)216，所以圆C的圆心坐标为(2，6)，半径r4，设D是线段AB的中点，则CDAB，所以|AD|2，|AC|4，C点坐标为(2，6)在RtACD中，可得|CD|2.若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离
7、公式为2，得k.故直线l的方程为3x4y200.直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所以所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，所以(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.11(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.
8、16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.12已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x3y290相切(1)设直线axy50与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；(2)在(1)的条件下，是否存在实数a，使得过点P(2，4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若
9、不存在，请说明理由解：(1)设圆心为M(m，0)(mZ)因为圆与直线4x3y290相切，且圆的半径为5，所以5，即|4m29|25.因为m为整数，所以m1.所以圆的方程是(x1)2y225.将axy50变形为yax5，并将其代入圆的方程，消去y并整理，得(a21)x22(5a1)x10.由于直线axy50交圆于A，B两点，故4(5a1)24(a21)0，即12a25a0，解得a.所以实数a的取值范围是(，0).(2)设符合条件的实数a存在由(1)得a0，则直线l的斜率为.所以直线l的方程为y(x2)4，即xay24a0.因为直线l垂直平分弦AB，所以圆心M(1，0)必在直线l上所以1024a0，解得a.因为，所以存在实数a，使得过点P(2，4)的直线l垂直平分弦AB.