1、2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）期末数学试卷一、选择题1如果函数f（x）的定义域为1，3，那么函数f（2x+3）的定义域为（）A2，0B1，9C1，3D2，92一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A39B48C57D633下列说法错误的是（）A若直线a平面，直线b平面，则直线a不一定平行于直线bB若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面C若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面D若平面平面v，平面平面v，=l，则l一定垂直于平面v4若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则P为（）A所有对数函数都不是单调函数B所有的单调函数都不是
2、对数函数C存在一个对数函数不是单调函数D存在一个单调函数都不是对数函数5已知a0，b0，且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=logbx的图象可能是（）ABCD6函数y=的定义域为（）A（4，1）B（4，1）C（1，1）D（1，1）7若f（x）=，f（f（1）=1，则a的值是（）A1B2C2D18直线xy+1=0的倾斜角的大小为（）A30B60C120D1509若函数f（x）=log2（x2ax3a）在区间（，2上是减函数，则实数a的取值范围是（）A（，4）B（4，4C（，4）2，+）D4，4）10若函数f（x）=，则f（f（e）（其中e为自然对数的底数）=（）A0B1C2Deln2
3、11设奇函数f（x）在区间1，1上是增函数，且f（1）=1当x1，1时，函数f（x）t22at+1，对一切a1，1恒成立，则实数t的取值范围为（）A2t2Bt2或t2Ct0或t2Dt2或t2或t=012已知函数f（x）=（a0，且a1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A（0，B，C，D，）二、填空题13点P（1，3）关于直线x+2y2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为14如图所示，程序框图的输出结果是15已知集合Pa，b，Q=1，0，1，则从集合P到集合Q的映射共有种16设函数f（x）=，aR，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）b
4、有两个零点，则实数a的取值范围为三、解答题17已知y=f（x）（xR）是偶函数，当x0时，f（x）=x22x（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）mx在1x2时都成立，求m的取值范围18某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 0123pxy（）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望E19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，ABAC
5、（）求证：A1C平面ABC1；（）求二面角ABC1A1的平面角的余弦值2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1如果函数f（x）的定义域为1，3，那么函数f（2x+3）的定义域为（）A2，0B1，9C1，3D2，9【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数f（x）的定义域为1，3，进而求出函数f（2x+3）的定义域即可【解答】解：1x3，12x+33，2x0，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域求解时“一不变（括号里整体的取值范围不变），应万变”的原则是解答此类问题的关键2一个圆柱挖去一部分后，
6、剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A39B48C57D63【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，剩余部分的表面积S=32+234+35=48，故选：B【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力3下列说法错误的是（）A若直线a平面，直线b平面，则直线a不一定
7、平行于直线bB若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面C若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面D若平面平面v，平面平面v，=l，则l一定垂直于平面v【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据线面平行的性质定理进行判断，B利用反证法结合面面垂直的性质进行判断，C利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断，D根据面面垂直的性质进行判断【解答】解：A若直线a平面，直线b平面，则a，b平行或相交或是异面直线，则直线a不一定平行于直线b正确，故A正确，B若内存在直线垂直于平面，则根据面面垂直的判定定理得，与平面不垂直于平面矛盾，故若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面正确，故B错误，C若
8、平面平面，则内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面平行，故C错误，D若平面平面v，平面平面v，=l，则根据面面垂直的性质得l一定垂直于平面v，故D正确，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线，平面，之间平行和垂直的位置关系的应用，根据相应的判定定理是解决本题的关键4若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则P为（）A所有对数函数都不是单调函数B所有的单调函数都不是对数函数C存在一个对数函数不是单调函数D存在一个单调函数都不是对数函数【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：所有的对数函数都是单调函
9、数，则P为：存在一个对数函数不是单调函数故选：C【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题5已知a0，b0，且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=logbx的图象可能是（）ABCD【考点】函数的图象；对数函数的图象与性质【分析】根据对数的运算性质，我们易根据ab=1，进而化简函数g（x）的解析式，然后根据反函数的定义，判断出函数f（x）与g（x）的关系，然后对题目中的四个答案逐一进行比照，即可得到答案【解答】解：ab=1g（x）=logbx=logax则函数f（x）=ax（a0且a1）与g（x）=logbx（b0且b1）互为反函数故函数f（x）=ax（a0且a
10、1）与g（x）=logbx（b0且b1）的图象关于直线y=x对称故选B【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，反函数的图象，其中利用对数运算性质，及反函数的定义，分析出函数f（x）与g（x）的关系，是解答本题的关键6函数y=的定义域为（）A（4，1）B（4，1）C（1，1）D（1，1）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得1x1，故选：D【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件7若f（x）=，f（f（1）=1，则a的值是（）A1B2C2D1【考点】函数的值【
11、分析】利用分段函数的性质求解【解答】解：f（x）=，f（f（1）=1，f（1）=lg1=0，f（f（1）=f（0）=0+=a3=1，解得a=1故选：D【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质及定积分的性质的合理运用8直线xy+1=0的倾斜角的大小为（）A30B60C120D150【考点】直线的倾斜角【分析】设直线xy+1=0的倾斜角为，则tan=，0，180）即可得出【解答】解：设直线xy+1=0的倾斜角为，则tan=，0，180）=60，故选：B【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9若函数f（x）=log2（x2ax3a）
12、在区间（，2上是减函数，则实数a的取值范围是（）A（，4）B（4，4C（，4）2，+）D4，4）【考点】复合函数的单调性【分析】令t=x2ax3a，则得函数f（x）=log2t，由条件利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质可得，由此求得a的范围【解答】解：令t=x2ax3a=3a，则由题意可得函数f（x）=log2t，函数t在区间（，2上是减函数且t0恒成立，求得4a4，故选：D【点评】本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质，属于中档题10若函数f（x）=，则f（f（e）（其中e为自然对数的底数）=（）A0B1C2Deln2【考点】函数的值【分析】根据分段函数的解析式，
13、求出函数值即可【解答】解：函数f（x）=，f（e）=lne=1，f（f（e）=f（1）=21=2故选：C【点评】本题考查了分段函数的求值问题，是基础题目11设奇函数f（x）在区间1，1上是增函数，且f（1）=1当x1，1时，函数f（x）t22at+1，对一切a1，1恒成立，则实数t的取值范围为（）A2t2Bt2或t2Ct0或t2Dt2或t2或t=0【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质【分析】奇函数f（x）在1，1上是增函数，且f（1）=1，只需要比较f（x）的最大值与t22at+1即可由于函数在1，1最大值是1，由此可以得到1t22at+1，因其在a1，1时恒成立，可以改变变量，以a为变
14、量，利用一次函数的单调性转化求解【解答】解：奇函数f（x）在1，1上是增函数，且f（1）=1，在1，1最大值是1，1t22at+1，当t=0时显然成立当t0时，则t22at0成立，又a1，1令g（a）=2att2，a1，1当t0时，g（a）是减函数，故令g（1）0，解得t2当t0时，g（a）是增函数，故令g（1）0，解得t2综上知，t2或t2或t=0故选D【点评】本题的考点是函数恒成立问题，主要考查函数的奇偶性，单调性与最值，考查一个恒成立求参数的问题，此类题求解的关键是解题中关系的转化，本题借助单调性确定最值进行转化，这是不等式型恒成立问题常用的转化技巧12已知函数f（x）=（a0，且a1）
15、在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A（0，B，C，D，）【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围【解答】解：y=loga（x+1）+1在0，+）递减，则0a1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在0，+）上，|f（x）|=2x有且仅有一个解，故在（，0）上，|f（x）|=2x同样有且仅有一个解，当3a2即a时，联立|x2+（4a3）x+3a|=2x，则=（4a2
16、）24（3a2）=0，解得a=或1（舍去），当13a2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为，故选：C【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题二、填空题13点P（1，3）关于直线x+2y2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为（1，1）【考点】直线与圆的位置关系【分析】设点P（1，3）关于直线x+2y2=0的对称点坐标为（a，b），则由垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得结论【解答】解：设点P（1，3）关于直线x+2y2=0的对称点坐标为（a，b），则由，解得a=1，b=1，故答案为（1，1）【点
17、评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，属于基础题14如图所示，程序框图的输出结果是3【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出y值【解答】解：x=1，y=1，x4，得：x=2，y=2，x+y=44，得：x=4，y=3，x+y=74，输出y=3，故答案为：3【点评】本题主要考查了程序框图，当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题15已知集合Pa，b，Q=1，0，1，则从集合P到集合Q的映射共有9种【考点】映射【分析】运用
18、分步计数原理求解【解答】解：集合P中的元素a在集合BQ中有3种不同的对应方式（1，0，1三选一），集合P中的元素b在集合Q中也有3种不同的对应方式（1，0，1三选一），根据“分步计数原理（乘法原理）”，集合P到集合Q的映射共有N=33=9，故答案为9【点评】本题主要考查了映射的概念，以及两集合间构成映射个数的确定，可用列举法，也可用乘法计数原理，属于基础题16设函数f（x）=，aR，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）b有两个零点，则实数a的取值范围为（，1）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象【分析】由g（x）=f（x）b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图
19、象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：g（x）=f（x）b有两个零点f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在（，a）递增，y=x3在a，+）递增，要使y=f（x）与y=b的图象有两个交点，可得，可得a1实数a的取值范围为：（，1）故答案为：（，1）【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题三、解答题17（2016秋定州市校级期末）已知y=f（x）（xR）是偶函数，当x0时，f（x）=x22x（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）mx在1x2时都成
20、立，求m的取值范围【考点】二次函数的性质【分析】（1）当x0时，有x0，由f（x）为偶函数，求得此时f（x）=f（x）的解析式，从而得到函数f（x）在R上的解析式（2）由题意得mx2在1x2时都成立，而在1x2时，求得（x2）min=1，由此可得m的取值范围【解答】解：（1）当x0时，有x0，f（x）为偶函数，f（x）=f（x）=（x）22（x）=x2+2x，f（x）=（2）由题意得x22xmx在1x2时都成立，即x2m在1x2时都成立，即mx2在1x2时都成立而在1x2时，（x2）min=1，m1【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于
21、基础题18（2016秋定州市校级期末）某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 0123pxy（）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式【分析】（）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的对立事件是=0，由此能求出该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率，再由P（=0）=，P（=3）=，pq，列出方程组，能求出p，
22、q（）由已知得的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E【解答】解：（）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率：P=1P（=0）=1=P（=0）=，P（=3）=，pq，解得p=，q=（）由已知得的可能取值为0，1，2，3，P（=0）=，P（=3）=，P（=1）=+=，P（=2）=+=，E=【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一19（2016秋定州市校级期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，ABAC（）求证：A1C平面ABC1；（）求二面角ABC1A1的平面角的余弦值
23、【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）法一：由AA1AB，ABAC，得AB平面ACC1A1，从而A1CAB，又A1CAC1，由此能证明A1C平面ABC1法二：以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能证明A1C平面ABC1（）求出平面A1BC1的法向量和平面ABC1的法向量，利用向量法能求出二面角ABC1A1的余弦值【解答】证明：（）证法一：由已知AA1AB，又ABAC，AB平面ACC1A1，（2分）A1CAB，又AC=AA1=4，A1CAC1，AC1AB=A，A1C平面ABC1； 证法二：由已知条件可得AA1、AB、AC两两互相垂直，因此以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，（1分）则A（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），A1（0，0，4），C1（4，0，4），且，且，A1C平面ABC1； （6分）解：（），设平面A1BC1，则，取y=4，得； （8分）由（）知，为平面ABC1的法向量，（9分）设二面角ABC1A1的大小为，由题意可知为锐角， （11分）即二面角ABC1A1的余弦值为 （12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用
