1、课时素养评价 二十一复数的几何意义 (20分钟35分)1.(2020周口高二检测)已知复数z1=2+i,z2=1+i,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第三象限C.第二象限D.第四象限【解析】选D.因为z1=2+i,z2=1+i,所以=-i,所以在复平面内对应的点为,位于第四象限.【补偿训练】 已知i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2i,则复平面内与z对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.因为(1+i)z=2i,所以z=1+i,所以复平面内与z对应的点在第一象限.2.(2019全国卷)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y
2、),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1【解析】选C.z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,|z-i|=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.3.向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数z2=1-i,则| +|为() A.B.C.2D.【解析】选A.因为向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),则+=(-2,1),所以| +|=.4.若|4+2i|+x+(3-2x)i=3+(y+5)i(i为虚数单位),其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.5B.C.2D.2
3、【解析】选A.由已知,得6+x+(3-2x)i=3+(y+5)i,所以解得所以|x+yi|=|-3+4i|=5.5.(2020福州高二检测)在复平面中,复数z1,z2对应的点分别为Z1, Z2.设z1的共轭复数为,则z2=_.【解析】由题意,得z1=1+2i,z2=2-i,所以=1-2i,故z2=-5i.答案:-5i6.已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b),(a,bR)是复平面上的四个点,且向量,对应的复数分别为z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若=2,z1-z2为实数,求a,b的值.【解析】(1)因为=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1)
4、,=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),所以z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,所以z1+z2=(a-4)+(b-4)i,又z1+z2=1+i,所以所以所以z1=4-i,z2=-3+2i.(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,因为=2,z1-z2为实数,所以所以 (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020南昌高二检测)若复数z=在复平面内对应的点(x,y)满足x+y=0,则=()A.2B. C.1 D.2【解析】选B.因为复数z=-i,所以复数z=在复平面内对应的点的坐标为,由复数z=在复平面内对
5、应的点(x,y)满足x+y=0可得-1=0a=2,z=1-i,=.2.(2020绵阳高二检测)定义运算=ad-bc,若复数z满足=0(i为虚数单位),则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.由题意=-2iz+i=0,所以z=-i,则=+i,所以在复平面内对应的点的坐标为在第一象限.3.(2020无锡高二检测)已知复数z满足:=1,则的最大值为()A.2B.+1C.-1D.3【解析】选B.设z=x+yi(x,yR),由|z-2|=1得圆的方程+y2=1,又|z-1+i|=表示定点(1,-1)与圆上任一点(x,y)间的距离.则由几何意义得
6、|z-1+i|max=+1=+1.【补偿训练】 (2020临泽高二检测)已知复数z满足|z-1+i|=1,则|z+2-3i|的最小值为_.【解析】由|z-1+i|=1得复数z对应的点是圆心为,半径为1的圆上的动点,|z+2-3i|表示的是圆上的点与点的距离,所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即-1=4.答案:44.设复数z满足=+1,z在复平面内对应的点的坐标为,则()A.x2=2y+1B.y2=2x+1C.x2=2y-1D.y2=2x-1【解析】选B.z在复平面内对应的点的坐标为,则z=x+yi,=x-yi,因为=+1,代入可得=x+1,解得y2=2x+1.二、多选题(每小题5分,共10分
7、,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在复平面内,复数z1,z2对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2,|z2|=,则z2的可取值为()A.4+5iB.5+4iC.+iD.+i【解析】选BD.设z2=x+yi(x,yR),由条件得,所以或所以z2=5+4i或+i.【光速解题】将选项代入条件|AB|=2,可以直接排除A,C,再将选项B,D代入条件|z2|=验证知BD正确.6.(2020苏州高二检测)已知i为虚数单位,下列说法中正确的是()A.若复数z满足|z-i|=,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=
8、15+8iC.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若=,则【解析】选CD.满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,为半径的圆上,A错误;在B中,设z=a+bi(a,bR),则|z|=.由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,所以解得所以z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由= 的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法,形成由各点都对应复数的“复平面”,后来
9、又称“阿甘得平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.若复数z满足z=7+i,则z对应的点位于第_象限,|z|=_.【解析】z=1-i,则z对应的点位于第四象限;|z|=.答案:四8.(2020全国卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=_.【解析】因为|z1|=|z2|=2,可设z1=2cos +2sin i,z2=2cos +2sin i,所以z1+z2=2(cos +cos )+2(sin +sin )i=+i,所以,两式平方作和得:4(2+2cos cos
10、 +2sin sin )=4,化简得cos cos +sin sin =-,所以|z1-z2|=|2(cos -cos )+2(sin -sin )i|=2.答案:2四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020连云港高二检测)已知复数z=(mR,i是虚数单位).(1)若z是纯虚数,求实数m的值;(2)设是z的共轭复数,复数-2z在复平面上对应的点位于第二象限,求实数m的取值范围.【解析】(1)z=3-2m-i,因为z为纯虚数,所以解得m=.(2)因为是z的共轭复数,所以=3-2m+i,所以-2z=2m-3+i.因为复数-2z在复平面上对应的点位于第二象限,所以解得-m.10.(2020济
11、南高二检测)在0,z2+=-2.这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,求出满足条件的复数z,以及.已知复数z1=1+i,z2=a+2i, ,_.若=+,求复数z,以及.【解析】方案一:选条件,因为z1=1+i,所以=,由于0,所以解得a=-1.所以z2=-1+2i,=+=,从而z=+i,=.方案二:选条件.因为z2=a+2i,所以=a-2i,由z2+=2a=-2,得a=-1,所以z2=-1+2i,=+=,从而z=+i,=.复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若BAC是钝角,求实数c的取值范围.【解析】在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),所以对应3+4i,对应c+(2c-6)i,由BAC是钝角,得cosBAC0,且A,B,C不共线,cosBAC=0,即|AB|2+|AC|2-|BC|20.又因为=-对应-3-4i,=-对应(c-3)+(2c-10)i,=-对应c+(2c-6)i,得25+(3-c)2+(2c-10)2-c2+(2c-6)2.其中当c=9时,A,B,C三点共线,故c9.所以c的取值范围是.
