1、核心素养测评七十二 古典概型、几何概型(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个,取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共3个,故所求概率P=.2.已知a-2,0,1,2,3,b
2、3,5,则函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数,则a2-20,满足此条件的基本事件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有9个,故所求概率为=.答案:9.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为_.【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因
3、此所求的概率为.答案:10.m-2,-1,0,1,2,n-1,0,1,随机抽取一个m和一个n,使得平面向量a=(m,n),满足|a|2的概率为_.【解析】向量a的所有可能情况是:(-2, -1),(-2, 0),(-2, 1),(-1, -1),(-1, 0),(-1, 1),(0, -1),(0, 0),(0, 1),(1, -1),(1, 0),(1, 1),(2,-1),(2, 0),(2, 1),满足|a|2即m2+n24的有(-2, -1),(-2, 1), (2, -1),(2, 1),所以所求概率为.答案:(15分钟35分)1.(5分)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,
4、另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31,共6个,两位数为奇数的有13,21,31,共3个,故所组成的两位数为奇数的概率为=.2.(5分)在边长为a的正三角形内任取一点P,则点P到三个顶点的距离均大于的概率是()A.-B.1-C.D.【解析】选B.如图正ABC的边长为a,分别以它的三个顶点为圆心,以为半径在ABC内部画圆弧,得三个扇形,则题中点P在这三个扇形外,因此所求概率为P=1-.3.(5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4
5、种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_.【解析】从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种方法.红色和紫色的花在同一花坛,有2种方法;红色和紫色的花不在同一花坛,有4种方法,所以所求的概率为=.答案:【一题多解】将红、黄、白、紫记为1,2,3,4,由列举法可得,有(12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12),共6种情况则所求概率P=.答案:4.(10分)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是
6、等可能的.如果甲船停泊时间为1 h,乙船停泊时间为2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.【解析】设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y,记事件A为“两船都不需要等待码头空出”,则0x24,0y24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即y-x1或x-y2.故所求事件构成集合A=(x,y)|y-x1或x-y2,x0,24,y0,24.A为图中阴影部分,全部结果构成集合为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P(A)=.5.(10分)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3).(1)求事件“ab”发生的概率.(2)求事件“|a|b|”发生的概率.【解析】(1)由题意知,m1,2,3,4,5,6,n1,2,3,4,5,6,故(m,n)所有可能的取法共36种.因为ab,所以m-3n=0,即m=3n,有(3,1),(6,2),共2种,所以事件ab发生的概率为=.(2)由|a|b|,得m2+n210,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,其概率为=.
