2021版高考数学一轮复习 单元评估检测（五）（第十章）文（含解析）北师大版.doc

1、单元评估检测(五) (第十章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,则a为()A.2B.2或-2C.-2D.-【解析】选B.由直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,可得=,解得a=2.2.圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为()A.1B.2C.4D.8【解析】选B.圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线的方程为x-y+2=0,它与两坐标轴分别交于(-2,0),(

2、0,2),所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为22=2.3.已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线的方程是y=x,它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选C.双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线的方程是y=x,可得b=a,它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上,可得c=4,即16=a2+b2,a=2,b=2.所求的双曲线方程为-=1.4.已知椭圆E:+=1(ab0)经过点A(,0),B(0,3),则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.由椭圆E:+=1(ab0),经过点A(,0),B(0,3),可得

3、a=3,b=,所以c=2,其离心率e=.5.在ABC中,若asin A+bsin B-csin C=0,则圆C:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【解析】选A.因为asin A+bsin B-csin C=0,所以由正弦定理得a2+b2-c2=0,所以圆心C(0,0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=1=r,所以圆C:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0相切.6.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-B.2-C.D.-1【解析】选D.在直角三角形PF1F

4、2中,|F1F2|=2c,PF2F1=60,所以|PF1|=c,|PF2|=c,又|PF1|+|PF2|=2a,所以c+c=2a,解得e=-1.7.(2020榆林模拟)已知l是双曲线C:-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2分别是C的左、右焦点,若=0,则点P到x轴的距离为()A. B.C.2 D.【解析】选C.由已知F1(-,0),F2(,0),不妨设l的方程为y=x,点P(x0,x0),由=(-x0,-x0)(-x0,-x0)=3-6=0,得x0=,所以点P到x轴的距离为|x0|=2.8.椭圆与双曲线共焦点F1,F2,它们的交点P对两公共焦点F1,F2的张角为F1PF2=2,椭圆与

5、双曲线的离心率分别为e1,e2,则( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,并设=m,=n,其中mn,焦距为2c,在PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-2mncos 2=,由椭圆和双曲线的定义得解得代入m2+n2-2mncos 2=,得+-2cos 2=4c2,即+cos 2=2c2,所以+=2c2,即2sin2+2cos2=2c2,所以+=1,因此,+=1.9.已知双曲线-y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=2px(p0)的焦点F,且M为抛物线的准线与x轴的交点,N为抛物线上的一点,且满足|NF|=|MN|,则点F到直线MN的

6、距离为()A.B.1C.D.2【解析】选D.双曲线-y2=1的右焦点为(2,0),抛物线y2=2px(p0)的焦点为,则2=,解得p=4,则抛物线方程为y2=8x,准线方程为x=-2,由点N向抛物线的准线作垂线,垂足为R,则由抛物线的定义,可得|NR|=|NF|=|MN|,从而可以得到NMR=60,从而得到NMF=30,所以有点F到直线MN的距离为d=4sin 30=2.10.(2020厦门模拟)已知抛物线x2=4y,斜率为-的直线交抛物线于A,B两点.若以线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P,则点P到直线AB的距离为()A.B.C.D.2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2)

7、,则P,=,=,根据题意得到=0.设直线方程为x=-2y+n,联立直线和抛物线方程得到4y2-4(n+1) y+n2=0,所以=-+(y1+1)(y2+1)=0,化简得到-(y1+y2)2+5y1y2+y1+y2+1=0,根据根与系数的关系,将根的和与乘积代入化简得到n=2.此时直线为x=-2y+2,点P坐标为P=P(-(y1+y2)+2,-1)=P(-1,-1),根据点到直线的距离公式得到d=.11.如图所示,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线C的方程为x2+4y2=4,其左、右焦点分别是F1,F

8、2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l与椭圆长轴交于点M,则|F1M|F2M|=()A.B.1C.13D.1【解析】选C.由椭圆的光学性质得到直线l平分F1PF2,因为=,由|PF1|=1,|PF1|+|PF2|=4得到|PF2|=3,故|F1M|F2M|=13.12.已知双曲线-y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线交于A,B两个不同的点,点M(2,2)是AB的中点,则OAB(O为坐标原点)的面积是()世纪金榜导学号A.4 B.3C. D.2【解析】选D.双曲线-y2=1中a=,b=1,c=2,右焦点为(2,0),则抛

9、物线y2=2px(p0)的焦点为(2,0),即2=,解得p=4,即抛物线方程为y2=8x,联立直线y=kx+m得k2x2+(2km-8)x+m2=0,判别式=(2km-8)2-4k2m20,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=,由点M(2,2)是AB的中点,得=4,2=2k+m,解得k=2,m=-2,满足判别式大于0,所以x1+x2=4,x1x2=1,弦长|AB|=2,点O到直线2x-y-2=0的距离d=,OAB(O为坐标原点)的面积是d|AB|=2=2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x

10、对称的圆的标准方程为.【解析】圆(x+1)2+y2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x2+(y+1)2=5.答案:x2+(y+1)2=514.抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则PAF周长的最小值为.【解析】如图,l=CPAF=|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PQ|+|AF|AQ|+|AF|,当且仅当A,P,Q共线时,等号成立.此时|AQ|=xA+2=8,|AF|=5,所以l8+5=13.答案:1315.已知双曲线-=1(a0,b0),过其中

11、一个焦点分别作两条渐近线的垂线段,两条垂线段的和为a,则双曲线的离心率为.【解析】令双曲线-=1(a0,b0)的焦点为(c,0),渐近线为y=x,即bxay=0,垂线段的长度即焦点到准线的距离,即=b,故由题意可得a=2b,所以双曲线的离心率满足e2=,即e=.答案:16.点M是椭圆+=1(ab0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q,若PQM是锐角三角形,则椭圆离心率的取值范围是.世纪金榜导学号【解析】因为圆M与x轴相切于焦点F,所以圆心与F的连线必垂直于x轴,不妨设M(c,y),因为M在椭圆上,则y=,所以圆的半径为,由题意|y|c|y|所以c22c2,所

12、以e2(1-e2)22e2,所以eb0,y0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1所在椭圆的离心率为.世纪金榜导学号(1)求a,b的值.(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(P,Q,A,B中任意两点均不重合),若APAQ,求直线l的方程.【解析】(1)因为y=-x2+1(y0),所以y=0,即x=1,因此A(-1,0),B(1,0),代入椭圆方程中,得b=1,由=以及a2-c2=b2=1,可得a=,所以a=,b=1.(2)由(1)可求出横轴上方的椭圆方程为:y2+2x2=2(y0),由题意可知:过点B的直线l存在斜率且不能为零,故设

13、直线方程为x=my+1(m0),代入椭圆C1得:y2+4my=0,故可得点P的坐标为:,显然m0,同理将x=my+1(m0)代入抛物线C2方程中,得m2y2+y+2my=0,故可求得Q的坐标为:,因为APAQ,所以=-=0,8m+2=0,解得m=-,符合m0)的切线l,切点A在第二象限.世纪金榜导学号(1)求切点A的纵坐标.(2)有一离心率为的椭圆+=1(ab0)恰好经过切点A,设切线l与椭圆的另一交点为点B,记切线l,OA,OB的斜率分别为k,k1,k2,若k1+k2=4k,求椭圆的方程.【解析】(1)设切点A(x0,y0),则有y0=,由切线l的斜率为k=,得l的方程为y=x-,又点D(0,-2)在l上,所以2=,即y0=2,所以点A的纵坐标为2.(2)由(1)得A(-2,2),切线斜率k=-,设B(x1,y1),切线方程为y=kx-2,由e=得=,又c2=a2-b2,所以a2=4b2.所以椭圆方程为+=1且过A(-2,2),所以b2=p+4.由得(1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0,所以又因为k1+k2=4k,即+=2k-=2k-=4k,解得b2=8,所以a2=4b2=32,所以椭圆方程为+=1.