1、3.1.2 函数的单调性第1课时 函数的单调性1.函数单调性的定义设函数y=f(x)的定义域为D，且ID，如果对任意x1，x2I，当x1x2时，函数增函数减函数图示条件都有f(x1)f(x2)结论在I上是增函数在I上是减函数【思考】函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？提示：不能，不能用特殊代替一般.2函数的单调性与单调区间函数y=f（x）在区间I上是增函数或减函数，则函数在区间I上具有单调性，区间I叫函数的单调区间，分别称为单调递增区间或单调递减区间.【思考】区间I一定是函数的定义域吗？提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念.【素养小测】1.思维辨析(对的打“
2、”，错的打“”)(1)函数f(x)=2x2，若f(-1)f(2)，则函数在R上是增函数.()(2)函数f(x)=在(-，0)(0，+)上是减函数.()(3)函数f(x)在定义域或其某一个子区间上一定有严格的单调性.()提示：(1).函数f(x)=2x2在(0，+)上是增函数.(2).函数f(x)=的单调递减区间为(-，0)，(0，+)，不能用“并”表示.(3).常数函数不具有严格的单调性.2.如图是函数y=f(x)的图像，则函数f(x)的单调递减区间是()A.(-1，0)B.(1，+)C.(-1，0)(1，+)D.(-1，0)，(1，+)【解析】选D.若函数单调递减，则对应图像为下降的，由图像
3、知，函数在(-1，0)，(1，+)上分别下降，则对应的单调递减区间为(-1，0)，(1，+).3.若y=f(x)是定义在(-，+)上是减函数，且f(x)f(2x-2)，则x的取值范围为_.【解析】因为y=f(x)是定义在(-，+)上是减函数，所以由f(x)2x-2，所以x2，所以x的取值范围为(-，2).答案：(-，2)类型一 利用图像求函数的单调区间【典例】1.如图是定义在区间-2，2的函数y=f(x)，则f(x)的单调递减区间是_.2.函数f(x)=x|x|-2x的单调递增区间为_.【思维引】1.图像从左到右下降的区间为单调递减区间.2.分情况去掉绝对值，作出图像确定单调递增区间.【解析】
4、1.由图像可以看出f(x)的单调递减区间是-1，1.答案：-1，12.x0时，f(x)=x2-2x，对称轴为x=1，开口向上，在(1，+)单调递增，x0时f(x)=-x2-2x，对称轴x=-1，开口向下，在(-，-1)单调递增，所以函数的单调递增区间是(-，-1)和(1，+).答案：(-，-1)和(1，+)【内化悟】怎样求函数的单调区间？提示：作出函数的图像，利用图像的上升、下降确定单调区间.【类题通】图像法求函数单调区间的步骤作图：作出函数的图像；结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间.【习练破】函数f(x)=|x+2|的单调递增区间是_.【解析】f(x)=|x+2|=所以
5、x-2时，f(x)=x+2单调递增，所以f(x)的单调递增区间为-2，+).答案：-2，+)【加练固】画出函数y=|x|(x-2)的图像，并指出函数的单调区间.【解析】y=|x|(x-2)=函数的图像如图所示.由函数的图像知：函数的单调递增区间为(-，0和1，+)，单调递减区间为(0，1).类型二 利用定义证明函数的单调性【典例】1.下列函数中，在R上是增函数的是()A.y=|x|B.y=xC.y=x2D.y=2.证明函数f(x)=x-在(0，+)上是增函数.世纪金榜导学号【思维引】1.考查当x增大时，函数值y的变化.2.利用单调性的定义证明.【解析】1.选B.根据题意，依次分析选项：对于A选
6、项，y=|x|=在R上不是增函数，不符合题意；对于B选项，y=x，为正比例函数，在R上是增函数，符合题意；对于C选项，y=x2，为二次函数，在R上不是增函数，不符合题意；对于D选项，y=，为反比例函数，在R上不是增函数，不符合题意.2.任取x1，x2(0，+)且x1x2，则x1-x20，所以1+0，又x1-x20，所以f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，+)上单调递增.【内化悟】如果函数是增函数，x与y的关系是什么？减函数呢？提示：如果函数是增函数，当x增大时，y增大；如果函数是减函数，当x增大时，y减小.【类题通】利用定义证明函数单调性的步骤【习练破】已知函
7、数f(x)=(m0)，证明在(-，2)上是增函数.【证明】任取x1，x2(-，2)且x1x2，则x1-x20，那么f(x1)-f(x2)=由x1x22，x1-20，x2-20，又m0，x1-x20，故f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(-，2)上单调递增.【加练固】证明：函数f(x)=在(-，1)上是减函数.【证明】任取x1，x2(-，1)且x1x2，则x1-x20，则f(x1)-f(x2)=因为x1x20，又x1-x20，故f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(-，1)上单调递减.类型三 函数单调性的简单应用角度1 利用单调性解函数不等式
8、【典例】已知函数f(x)的定义域为-2，2，且f(x)在区间-2，2上是增函数，f(1-m)f(m)，则实数m的取值范围为_.世纪金榜导学号【思维引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围.【解析】因为f(x)的定义域为-2，2，所以解得-1m2，因为f(x)是增函数，所以1-m0.5，所以0.5m2.答案：0.5m，所以m0.5，所以-1m0.5.答案：-1m0，x0)的单调性.函数y=x+(a0)的图像如图所示：则函数y=x+的单调增区间是(-，-和 ，+)，单调减区间是(-，0)和(0，).【延伸练】(2019银川高一检测)函数f(x)=x+(x0)的单调减区间是()A.(2，+)B.(
9、0，2)C.(，+)D.(0，)【解析】选D.函数f(x)=x+(x0)，根据对勾函数图像及性质可知，函数f(x)=x+(x0)在(，+)单调递增，函数f(x)在(0，)单调递减.【习练破】1.函数f(x)=kx2+(3k-2)x-5在1，+)上单调递增，则k的取值范围是()A.(0，+)B.C.D.【解析】选D.当k=0时，f(x)=-2x-5在R上单调递减，不符合题意，当k0时，因为函数f(x)=kx2+(3k-2)x-5在1，+)上单调递增，所以解得：k 综上所述，k的取值范围是.2.若函数f(x)=是(-，+)上的减函数，则实数a的取值范围是_.【解析】由题意，因为f(x)在R上是减函数，x0时f(x)=x2-ax+1，其过定点(0，1)，且x0时是减函数，所以对称轴x=0，又因为x0时，f(x)=-x+3a，是减函数，且在R上是减函数，所以3a1，由得0a 答案：【加练固】已知函数f(x)=x2+ax+b.(1)若函数f(x)的图像过点(1，4)和(2，5)，求f(x)的解析式.(2)若函数f(x)在区间1，2上不单调，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)的图像过点(1，4)和(2，5)，所以解得所以f(x)=x2-2x+5.(2)函数f(x)的对称轴方程为x=要使函数f(x)在区间1，2上不单调，则1 2，解得-4a-2.
