1、第三课 平面向量初步思维导图构建网络考点整合素养提升题组训练一 平面向量的概念1.给出下列命题,其中正确的是()A.两个具有公共终点的向量一定是共线向量B.两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小C.若a=0(为实数),则必为零D.已知,为实数,若a=b,则a与b共线2.(多选题)已知向量a,b是同一平面内的两个向量,则下列结论正确的是()A.若存在实数,使得b=a,则a与b共线B.若a与b共线,则存在实数,使得b=aC.若a与b不共线,则对平面内的任一向量c,均存在实数,使得c=a+bD.若对平面内的任一向量c,均存在实数,使得c=a+b,则a与b不共线【方法技巧】平面向量的概念的理解1.
2、平行(共线)向量:方向相同或相反的向量,规定零向量平行于任何向量.2.向量是由长度和大小两个方面构成,缺一不可.向量不可以比较大小,能比较大小的是向量的模.相等向量一定是方向一致长度相等的向量.相等向量一定是共线向量,反之不成立.题组训练二 平面向量的线性运算1.(2a-3b)-3(a+b)=_.【解析】=-a-4b.答案:-a-4b2.设D为ABC所在平面内一点,则()【方法技巧】向量线性运算的注意问题1.向量的线性运算类似于多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,只不过此时的“同类项”“公因式”指的是向量,实数看成向量的系数.2.用已知向量表示未知向量时,要善于利用三角形法则和平
3、行四边形法则以及向量线性运算的运算律,同时,如果表示较为困难时可以考虑利用方程(组)求解.3.证明三点共线一般转化为两个向量共线,另外叙述两个共线向量有一个公共点即可.题组训练三 平面向量的两个定理1.设A,B,C是平面内共线的三个不同的点,点O是A,B,C所在直线外任意一点,且满足若点C在线段AB的延长线上,则()A.x1B.y1C.0 xy1D.0yx12.在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,则()3.(2020徐州高一检测)如图,在ABC中,若则+=_.【方法技巧】共线向量基本定理与平面向量基本定理的理解1.注意共线向量基本定理的等价形
4、式,其中一个向量不能为零向量,此定理可以证明点共线或线共线问题,也可以根据共线求参数的值.2.根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向量,主要是利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算.题组训练四 平面向量的坐标运算1.已知向量tR.(1)求的最小值及相应的t值.(2)若a-tb与c共线,求实数t.2.已知向量a=,b=.(1)求与2a+b同向的单位向量e.(2)若向量c=,请以向量a,b为基底表示向量c.【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧1.若已知两个向量的坐标,则直接利用两个向量的和、差及数乘运算法则进行向量的坐标运算.若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,
5、然后再进行向量的坐标运算.2.向量共线问题的处理,一是利用共线向量基本定理,其次就是利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.题组训练五 平面向量线性运算的应用1.已知点O是ABC内部一点,并且满足 BOC的面积为S1,ABC的面积为S2,则=()2.ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且,AD与BE交于R,证明:【证明】由A,D,R三点共线,可得由B,E,R三点共线,可得所以所以所以所以【方法技巧】平面向量线性运算的一个主要应用就是利用平面向量来证明几何中相关问题或者对几何中的相关数据求解,常用的方法有两个:一是基底法,选取已知的不共线的两个向量作为一组基底,用基底表示相关向量,转化为基底之间的向量运算进行证明;二是坐标法,先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
