1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(五)第五章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015济南模拟)数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),则a6=()A.44B.344+1C.344D.44+1【解析】选C.由an+1=3Sn(n1)得an+2=3Sn+1,两式相减得an+2-an+1=3Sn+1-3Sn,即an+2-an+1=3an+1,所以an+2=4an+1,即=4,
2、a2=3S1=3,所以a6=a244=344.【加固训练】(2015武汉模拟)已知数列an的前n项和Sn和通项an满足Sn=(1-an),则数列an的通项公式为()A.an=B.an=C.an=D.an=3【解析】选B.当n2时,an=Sn-Sn-1=-,化简得2an=-an+an-1,即=.又由S1=a1=,得a1=.所以数列an是首项为,公比为的等比数列.所以an=.2.设等差数列an的前n项和是Sn,若-ama10,且Sm+10B.Sm0C.Sm0,且Sm+10D.Sm0,且Sm+10【解析】选A.-ama10,Sm+1=(m+1)0.【加固训练】已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1
3、,an+1=3Sn(n1,nN*),第k项满足750ak900,则k等于()A.8B.7C.6D.5【解析】选C.依题意,由an+1=3Sn及an=3Sn-1(n2,nN*),两式相减得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,即an+1=4an(n2),a2=3,所以an=,将ak代入不等式75034k-20(n=1,2,3,),若a1=b1,a11=b11,则()A.a6=b6B.a6b6C.a6b6或a6(注q1,故b1b11),从而a6b6.8.已知数列的通项公式为an=lo(n-4),则数列中的最大项为()A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项【思路点拨】观察数列的通项公式可将
4、其视为一次函数与对数函数结合的复合函数求解.【解析】选C.根据题意可转化为函数f(x)=log(x-4),xN*,易知其定义域为x|x4,xN*,且t=x-4为单调递增函数,f(t)=lot,t0为单调递减函数,从而f(x)=log(x-4),x4,xN*为单调递减函数,故当x=5时函数取最大值,因此该数列的最大项为第5项,选C.9.(2015杭州模拟)已知每项均大于零的数列an中,首项a1=1且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(nN*且n2),则a81=()A.638B.639C.640D.641【解析】选C.由已知Sn-Sn-1=2可得,-=2,所以是以1为首项,2为公差的等差数列,故=
5、2n-1,Sn=(2n-1)2,所以a81=S81-S80=1612-1592=640.【加固训练】已知数列an满足a1=,且对任意的正整数m,n,都有am+n=aman,若数列an的前n项和为Sn,则Sn等于()A.2-B.2-C.2-D.2-【解析】选D.令m=1,得an+1=a1an,即=a1=,可知数列an是首项为a1=,公比为q=的等比数列,于是Sn=2=2-.10.(2015肇庆模拟)若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”,则在1100这100个数中,能称为“和平数”的所有数的和是()A.130B.325C.676D.1300【解析】选C.设两个连续偶数为2k+2和
6、2k(kN*),则(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),故和平数是4的倍数,但不是8的倍数,故在1100之间,能称为和平数的有41,43,45,47,425,共计13个,其和为413=676.【加固训练】设Sn为数列an的前n项和,若(nN*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”;若数列cn是首项为2,公差为d(d0)的等差数列,且数列cn是“和等比数列”,则d=.【解析】由题意可知,数列cn的前n项和为Sn=,前2n项和为S2n=,所以=2+=2+.因为数列cn是“和等比数列”,即为非零常数,所以d=4.答案:411.已知函数f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,且对任意的正数x,
7、y都有f(xy)=f(x)+f(y),若数列an的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN*),则an等于()A.2n-1B.nC.2n-1D.【解析】选D.由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)(nN*),所以Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2),两式相减得2an=3an-1(n2),又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,所以a1=1,所以数列an是首项为1,公比为的等比数列,所以an=.12.(2015成都模拟)已知函数f(x)=若数列an满足an=f(n)(nN*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是()A.B.C.(2,3)D.(1,3
8、)【解析】选C.由题意,an=f(n)=要使an是递增数列,必有即解得,2akan-2对一切nN*恒成立,求实数k的取值范围.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,因为an+1+an=92n-1,nN*,所以a2+a1=9,a3+a2=18,所以q=2.所以2a1+a1=9,所以a1=3.所以an=32n-1,nN*.(2)由(1)知Sn=3(2n-1),所以3(2n-1)k32n-1-2,所以k2-.令f(n)=2-,则f(n)随n的增大而增大,所以f(n)min=f(1)=2-=,所以k.所以实数k的取值范围为.【加固训练】已知等比数列an的首项为1,公比q1,Sn为其前n项和,a1,a
9、2,a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项.(1)求an和Sn.(2)设bn=log2an+1,数列的前n项和为Tn,求证:Tn.【解析】(1)因为a1,a2,a3为某等差数列的第一、第二、第四项,所以a3-a2=2(a2-a1),所以a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为a1=1,所以q2-3q+2=0,因为q1,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.所以Sn=2n-1.(2)由(1)知an+1=2n,所以bn=log2an+1=log22n=n.所以=.所以Tn=+-+=-0,an+1-an=2,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.所以an=2n-1.(3)因为an=
10、2n-1,所以a=(2an+2,m)=( 2(2n+3),m)0,b=(-an+5,3+an)=(-(2n+9),2(n+1)0,所以abab=0m(n+1)=(2n+3)(2n+9)=m(n+1)=4(n+1)2+16(n+1)+7m=4(n+1)+16+.因为m,nN*,所以n+1=7,m=47+16+1,即n=6,m=45.当n=6,m=45时,ab.【加固训练】设数列an的前n项和为Sn,其中an0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.(1)求an的通项公式.(2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列bn为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.【解析】
11、(1)依题意,得2Sn=an+1-a1,当n2时,有两式相减,得an+1=3an(n2).又因为a2=2S1+a1=3a1,an0,所以数列an是首项为a1,公比为3的等比数列.因此an=a13n-1(nN*).(2)因为Sn=-,所以bn=1-Sn=1+-.要使bn为等比数列,当且仅当1+a1=0,即a1=-2,所以存在a1=-2,使数列bn为等比数列.21.(12分)已知数列an中,a1=3,前n项和Sn=(n+1)(an+1)-1(1)求证:数列an为等差数列.(2)求数列an的通项公式.(3)设数列的前n项和为Tn,是否存在实数M,使得TnM对一切正整数n都成立?若存在,求M的最小值,
12、若不存在,试说明理由.【解析】(1)因为Sn=(n+1)(an+1)-1,所以Sn+1=(n+2)(an+1+1)-1,所以an+1=Sn+1-Sn=,整理,得nan+1=(n+1)an-1,所以(n+1)an+2=(n+2)an+1-1,所以(n+1)an+2-nan+1=(n+2)an+1-(n+1)an,所以2(n+1)an+1=(n+1)(an+2+an),所以2an+1=an+an+2,所以,数列an为等差数列.(2)a1=3,nan+1=(n+1)an-1,所以a2=2a1-1=5,a2-a1=2即为公差,所以an=a1+(n-1)d=2n+1.(3)因为=所以Tn=-+-+-=-
13、,所以对nN*时,Tn,且当n+时,Tn,所以要使TnM对一切正整数n都成立,只要M,所以存在实数M使得TnM对一切正整数n都成立,M的最小值为.【加固训练】(2015凤阳模拟)已知数列an的前n项和为Sn,a1=,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,.(1)证明:数列是等差数列,并求Sn.(2)设bn=,求证:b1+b2+bn.【解析】(1)由Sn=n2an-n(n-1)知,当n2时,Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1),所以Sn-Sn-1=1,对n2成立.又S1=1,所以是首项为1,公差为1的等差数列.所以Sn=1+(n-1)1,
14、所以Sn=.(2)bn=,所以b1+b2+bn=-+-+-+-=.22.(12分)已知在正项数列an中,a1=2,点An(,)在双曲线y2-x2=1上;数列bn中,点(bn,Tn)在直线y=-x+1上,其中Tn是数列bn的前n项和.(1)求数列an的通项公式.(2)求证:数列bn是等比数列.(3)若cn=anbn,求证:cn+1cn.【解析】(1)由已知点An在双曲线y2-x2=1上可得an+1-an=1,所以数列an是一个以2为首项,以1为公差的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.(2)因为点(bn,Tn)在直线y=-x+1上,所以Tn=-bn+1,所以Tn-1=-bn-1+1,-得bn=-bn+bn-1,化简得bn=bn-1,令中n=1得b1=-b1+1,所以b1=.所以bn是一个以为首项,以为公比的等比数列.所以bn=.(3)cn=anbn=(n+1),所以cn+1-cn=(n+2)-(n+1)=(-2n-1)0,所以cn+1cn.关闭Word文档返回原板块
