1、9.3直线与圆、圆与圆的位置关系考点直线与圆、圆与圆的位置关系12.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c1),结合题意可得|c|5=5,解得c=5.故选A.13.(2013江西,9,5分)过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.3
2、3B.-33C.33D.-3答案B如图,设直线AB的方程为x=my+2(显然m0,所以m21,由根与系数的关系得y1+y2=-22m1+m2,y1y2=11+m2,SAOB=SPOB-SPOA=12|OP|y2-y1|=228m2(1+m2)2-41+m2=224(m2-1)(1+m2)2.令t=1+m2(t2),SAOB=2t-2t2=2-21t-142+18,当1t=14,即t=4,m=-3时,AOB的面积取得最大值,此时,直线l的斜率为-33,故选B.评析本题考查直线与圆的位置关系,解析几何中的面积问题,以及转化与化归思想,数形结合思想.考查学生的运算求解能力,属中档题.14.(2014
3、湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.答案2解析由题意知直线l1和l2与单位圆C所在的位置如图.因此a=1,b=-1或a=-1,b=1,故a2+b2=1+1=2.评析本题考查了直线和圆的位置关系,考查了直线的斜率和截距,考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出a和b的值是解题的关键.15.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(0,2),且离心率e=22.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G-94,0与以线段AB为直径的
4、圆的位置关系,并说明理由.解析解法一:(1)由已知得b=2,ca=22,a2=b2+c2.解得a=2,b=2,c=2.所以椭圆E的方程为x24+y22=1.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,从而y0=mm2+2.所以|GH|2=x0+942+y02=my0+542+y02=(m2+1)y02+52my0+2516.|AB|24=(x1-x2)2+(y1-y2)24=(1+m2)(y1-y2)24=(1+m2)(y1+y2)2-4y
5、1y24=(1+m2)(y02-y1y2),故|GH|2-|AB|24=52my0+(1+m2)y1y2+2516=5m22(m2+2)-3(1+m2)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0,所以|GH|AB|2.故点G-94,0在以AB为直径的圆外.解法二:(1)同解法一.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则GA=x1+94,y1,GB=x2+94,y2.由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,从而GAGB=x1+94x2+94+y1y2=my1+54my2+54+y1y2=(m2+1
6、)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0,所以cos0.又GA,GB不共线,所以AGB为锐角.故点G-94,0在以AB为直径的圆外.评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.16.(2014江苏,18,16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80
7、 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tanBCO=43.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?解析解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率kBC=-tanBCO=-43.因为ABBC,所以直线AB的斜率kAB=34.设点B的坐标为(a,b),则kBC=b-0a-170=-43,kAB=b-60a-0=34.解得a=80,b=120.所以BC=(170-80)2+(0-120)2=150.因此新桥BC的长是150 m
8、.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0d60).由条件知,直线BC的方程为y=-43(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=|3d-680|42+32=680-3d5.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以r-d80,r-(60-d)80,即680-3d5-d80,680-3d5-(60-d)80.解得10d35.故当d=10时,r=680-3d5最大,即圆面积最大.所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长OA,CB交于点F.因为tanFCO=43,所以sin
9、FCO=45,cosFCO=35.因为OA=60,OC=170,所以OF=OCtanFCO=6803,CF=OCcosFCO=8503,从而AF=OF-OA=5003.因为OAOC,所以cosAFB=sinFCO=45.又因为ABBC,所以BF=AFcosAFB=4003,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连结MD,则MDBC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=d m(0d60).因为OAOC,所以sinCFO=cosFCO.故由(1)知sinCFO=MDMF=MDOF-OM=r6803-d=35,所以r=680-3
10、d5.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以r-d80,r-(60-d)80,即680-3d5-d80,680-3d5-(60-d)80.解得10d35.故当d=10时,r=680-3d5最大,即圆面积最大.所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.评析本题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识,考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.17.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若
11、圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解析(1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意得,|3k+1|k2+1=1,解得k=0或-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以x2+(y-3)2=2x2+y2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|CD2+1,即1a2+(2a-3)23.由5a2-12a+80,得aR;由5a2-12a0,得0a125.所以点C的横坐标a的取值范围为0,125.评析本题考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识和基本技能,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力.
