1、7.3 三角函数的性质与图像7.3.1 正弦函数的性质与图像1.正弦函数的性质定义域、值域定义域R,值域-1,1当且仅当x=+2k,kZ时,ymax=1当且仅当x=+2k,kZ时,ymin=-1奇偶性奇函数周期性2单调性单调增区间_,kZ单调减区间_,kZ零点k,kZ【思考】(1)-2是正弦函数的周期吗?提示:是.2k(kZ,k0)都是它的周期.(2)正弦函数的零点是点吗?若不是,是什么?提示:不是,是实数k,kZ.2.函数的周期性(1)周期:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数
2、的周期.(2)最小正周期:对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期.【思考】对非零常数T,若存在x0,使f(x0+T)=f(x),那么T是函数的周期吗?为什么?提示:不是,必须对定义域内的每一个值成立.3.正弦函数的图像(1)图像.(2)对称性:对称轴x=_+k,kZ,对称中心_,kZ.(3)五点:【思考】正弦函数的对称轴之间的距离有什么特点?对称中心呢?提示:对称轴之间的距离相差了的整数倍.对称中心之间的距离也相差了的整数倍.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)正弦函数在区间上是递增的.()(2)若存在
3、一个常数T,使得对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x),则函数f(x)为周期函数.()(3)函数f(x)=sin x-1的一个对称中心为(,-1).()提示:(1).正弦函数在区间上先递增,再递减.(2).应为非零常数T.(3).因为正弦函数的一个对称中心为(,0),函数f(x)=sin x-1即将正弦函数向下平移一个单位,故一个对称中心为(,-1).2.函数y=sin x是()A.增函数B.减函数C.偶函数D.周期函数【解析】选D.由正弦曲线y=sin x的图像,可得函数y=sin x的增区间是(kZ),减区间是(kZ),函数是奇函数,且是周期为2的周期函数.3.若sin x=2m
4、-1且xR,则m的取值范围是_.【解析】因为sin x=2m-1,xR,所以-12m-11,所以02m2,0m1,所以m的取值范围是0,1.答案:0,1类型一 正弦函数的性质及应用角度1 比较大小【典例】sin 1,sin 2,sin 3的大小关系是()A.sin 1sin 2sin 3B.sin 3sin 2sin 1C.sin 2sin 3sin 1D.sin 3sin 1sin 2【思维引】利用诱导公式,将角度1,2,3化到一个单调区间上,根据单调性比较大小.【解析】选D.由sin 2=sin(-2),sin 3=sin(-3),因为0-31-2 ,sin x在上是增函数,所以sin(-
5、3)sin 1sin(-2).故得sin 3sin 1sin 2.【素养探】在比较大小的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,先利用诱导公式转化,再利用单调性比较大小.将本例变为“sin 2,sin 3,sin 4”试比较其大小关系.【解析】由上题可知0sin 3sin 2,sin 4=sin(-4)=-sin(4-)0,所以sin 4sin 3sin 2.角度2 求最值【典例】1.(多选题)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是,值域为-5,-1,则a,b的值为()A.a=2,b=-7B.a=-2,b=2C.a=-2,b=1D.a=1,b=-22.求函数f(x)=sin(+x)-
6、cos2x的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值.【思维引】1.根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.2.利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成正弦,还原求最值.【解析】1.选AC.因为f(x)=2asin x+a+b的定义域是,所以0sin x1,当a0时,由题意解得2.f(x)=sin(+x)-cos2x=-sin x-1+sin2x=sin2x-sin x-1,令t=sin x,则y=t2-t-1=,t-1,1.因为-1t1,所以y1,所以ymax=1,此时sin x=-1,x=+2k,kZ;所以ymin=,此时sin x=,x=+2k,kZ或
7、x=+2k,kZ.【类题通】1.关于正弦值大小比较利用诱导公式将角化到正弦函数的单调区间内,通过单调性比较大小,如果不在一个单调区间,一是借助中间值,如0比较,二是利用正弦函数的对称轴转化比较.2.关于与正弦函数有关的最值(1)一次式:如果是关于正弦函数的一次式,要根据一次项的系数正负确定最值;(2)二次式:如果是关于正弦函数的二次式,则通过换元转化为一元二次函数配方求最值.【习练破】1.不求值,比较sin 与sin 的大小.【解析】sin =-sin =-sin ,sin =-sin ,因为0 且函数y=sin x,x 是增函数,所以sin -sin ,即sin sin .2.求y=1-2s
8、in2x+sin x的值域.【解析】y=1-2sin2x+sin x,令sin x=t,则-1t1,y=-2t2+t+1=-2 .由二次函数y=-2t2+t+1的图像可知-2y ,即函数y=1-2sin2x+sin x的值域为.【加练固】不求值比较sin 255与sin 262的大小.【解析】sin 255=sin(180+75)=-sin 75,sin 262=sin(180+82)=-sin 82,因为0758290,且函数y=sin x,x 是增函数,所以sin 75-sin 82,即sin 255sin 262.类型二 五点法作正弦函数的图像【典例】用五点法作函数y=-2sin x+1
9、,x0,2的图像.世纪金榜导学号【思维引】按照列表、描点、连线的步骤作图.【解析】列表:x02y=sin x010-10y=-2sin x+11-1131描点作图:【内化悟】上述作图的过程中哪一步是最关键的?提示:列表是作图的关键.【类题通】“五点法”作函数y=rsin x+l的图像(1)列表:以正弦函数的五点为基础,列出函数y=rsin x+l的五点.(2)描点:将函数y=rsin x+l的五点在坐标系中描出来.(3)连线:利用平滑的曲线将点连接起来,注意不能用折线连接.【习练破】用“五点法”作出函数y=2-sin x,x0,2的图像.【解析】列表如下:x02y=sin x010-10y=2
10、-sin x21232描点,用光滑曲线连起来,图像如图所示.【加练固】利用“五点法”作出函数y=sin ,x 的图像.【解析】列表如下:x2y=x-02y=sin 010-10描点连线,如图所示.类型三 正弦函数性质、图像的应用【典例】1.函数f(x)=-sin x在区间0,2上的零点个数为()A.1B.2C.3D.42.求函数y=的定义域、值域和零点.世纪金榜导学号【思维引】1.转化为函数图像的交点个数判断.2.按照相关的概念列式,结合不等式、方程求解.【解析】1.选B.令f(x)=-sin x=0,即=sin x,如图所示.函数y=与y=sin x在0,2上有两个交点,故函数f(x)=-s
11、in x有两个零点.2.令-2sin x0,即sinx ,解得+2kx +2k,kZ,所以函数的定义域为,kZ.因为-1sin x ,所以0 -2sin x +2,所以0 ,故函数的值域为.令y=0,解得x=+2k或x=+2k,kZ.【内化悟】本例1中,确定零点个数的方法是什么?提示:数形结合.【类题通】关于正弦函数性质、图像的应用(1)周期性的应用:正弦函数是周期函数,可以先研究其在一个周期内的性质,再推广到定义域内.(2)奇偶性的应用:先确定函数的奇偶性,只研究函数在0,+)上的性质,再利用奇偶函数的性质推广到(-,0上.(3)数形结合的应用:将问题转化为正弦函数与其他初等函数图像间的关系
12、,利用图像解决问题.【习练破】1.(2020福州高一检测)函数y=的定义域为()【解析】选D.要使函数有意义,则2sin(-2x)-10,即sin2x ,则2k+2x2k+,kZ,则k+xk+,kZ,即函数的定义域为2.函数f(x)=sin x-的零点个数是()A.4B.5C.6D.7【解析】选D.令f(x)=sin x-=0,即sin x=,令y1=sin x,y2=,在同一坐标系内分别作出y1,y2的图像如图.由图像可知图像有7个交点,即函数有7个零点.【加练固】求方程sin x=lg x的解的个数.【解析】建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin x,x0,2的图像,再向右连续平移2个单位,得到y=sin x的图像.描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg x的图像,如图所示.由图像可知方程sin x=lg x的解有3个.
