1、7.2.4诱导公式(二)1.诱导公式【思考】(1)角-与角的终边有什么样的位置关系?提示:角-与角的终边关于y=x对称.(2)点P1(a,b)关于y=x对称的对称点坐标是什么?提示:点P1(a,b)关于y=x对称的对称点坐标是P2(b,a).2.诱导公式【思考】如何由公式、公式推导公式?提示:3.诱导公式【思考】如何推导公式?提示:4.诱导公式【思考】如何理解诱导公式?提示:(1)函数名称:的正弦(余弦)函数值,分别转化为的余弦(正弦)函数值.(2)符号:函数值前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.(3)作用:利用诱导公式,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.(4)简记:“函数名改变,符号
2、看象限”.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)sin(90+)=-cos.()(2)在ABC中,()(3)sin =cos.()提示:(1).由诱导公式知sin(90+)=cos.(2).因为由诱导公式可知(3).例如当k=2时,sin =sin(-)=sin cos.2.sin 95+cos 175的值为()A.sin 5 B.1C.0 D.2sin 5【解析】选C.sin 95=sin(90+5)=cos 5,cos 175=cos(180-5)=-cos 5,故sin 95+cos 175=cos 5-cos 5=0.3.若 =()【解析】选D.因为所以sin=所以4
3、.若cos(+)=,则sin =_.【解析】方法一:cos(+)=-cos=,所以cos=-,方法二:cos(+)=所以所以答案:-类型一 利用诱导公式求值【典例】1.已知cos 31=m,则sin 239tan 149的值是()2.已知cos(+)=-,为第一象限角,则cos的值为_.3.已知,则cos的值为_.【思维引】1.239=270-31,149=180-31.2.利用诱导公式化简计算.3.【解析】1.选B.sin 239tan 149=sin(270-31)tan(180-31)=-cos 31(-tan 31)=sin 312.因为cos(+)=-cos=-,所以cos=,又为第
4、一象限角,则答案:-3.答案:【内化悟】对于含有参变量的已知角和未知角怎样转化?提示:通常把含有参变量的两个式子进行加减运算,从而发现互补、互余关系.【类题通】解决化简求值问题的策略(1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系,发现它们的互补、互余关系.(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.提醒:常见的互余关系有:-与+,+与-等;常见的互补关系有:+与-,+与-等.【习练破】1.已知sin 40=a,则cos 130等于()【解析】选B.cos 130=cos(90+40)=-sin 40=-a.2.已知sin(75+)=,则cos(15-)的值为()【
5、解析】选C.因为(75+)+(15-)=90,所以cos(15-)=cos90-(75+)=sin(75+)=.类型二 利用诱导公式化简、证明【典例】求证=-tan.世纪金榜导学号【思维引】等式左边含有k,kZ的形式的角,可以利用诱导公式直接对等式左边进行化简,从而推得等式右边.【证明】因为左边=所以原等式成立.【内化悟】利用诱导公式化简的基本原则是什么?提示:(1)负化正、大化小、小化锐、锐求值.(2)对于k,kZ的形式的角,记准:奇变偶不变,符号看象限.【类题通】对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推导右边或从右边推导左边,也可以左右归一,变更论证的方法.常用定义法、弦化切、拆项
6、拆角法、“1”的代换法、公式变形法等,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.【习练破】证明:【证明】左边=所以原式成立.【加练固】化简:【解析】原式=类型三 诱导公式的综合应用【典例】已知f()=世纪金榜导学号(1)化简f().(2)若f()=,求sin+cos 的值.【思维引】利用诱导公式对函数式进行化简,再利用平方关系等三角函数知识解题.【解析】(1)f()=(2)若f()=,则sin=,cos2=1-sin2=.当为第一象限角时,cos=,sin+cos=当为第二象限角时,cos=-,sin+cos=【内化悟】对于复杂的、综合性很强的三角函数化简计算、求值问题怎样解决?提示:运
7、用诱导公式化简:求值的前提是熟记诱导公式,诱导公式可以概括为一句口诀:“奇变偶不变,符号看象限”;即把已知角统一写成“k ,kZ”的形式,根据k的奇偶性选择函数名进行化简,再综合利用三角函数的定义,特殊角的三角函数等知识解决问题.【类题通】诱导公式综合应用要“三看”一看角:化大为小;看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形.【习练破】已知(1)化简f().(2)若角A是ABC的内角,且f(A)=,求tan A-sin A的值.【解析】(1)f()=(2)因为f(A)=cos A=,又A为ABC的内角,所以由平方关系,得sin A=所以tan A=所以tan A-sin A=【加练固】已知sin,cos 是关于x的方程x2-ax+a=0(aR)的两个根.(1)求的值.(2)求tan(-)-的值.【解析】由已知原方程判别式0,即(-a)2-4a0,则a4或a0.又(sin+cos)2=1+2sin cos,即a2-2a-1=0,所以a=1-或a=1+(舍去).则sin+cos=sin cos=1-.
