1、7.2.3同角三角函数的基本关系式1.平方关系(1)公式:sin2+cos2=1(2)语言叙述:同一个角的正弦、余弦的平方和等于1.2.商数关系(1)公式:tan=(k+,kZ).(2)语言叙述:同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切.【思考】(1)“同角”一词的含义是什么?提示:一是“角相同”,如sin2+cos2=1就不一定成立.二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下),关系式都成立,即与角的表达式形式无关,如sin215+cos215=1,sin2(+)+cos2(+)=1等.(2)两个公式成立的条件分别是什么?提示:平方关系对于R都成立;商数关系中公式成立的条件为:k+,kZ.(3)
2、同角三角函数的基本关系有变式吗?分别是什么?提示:有;sin2+cos2=1的变形公式有:sin2=1-cos2;cos2=1-sin2.tan=的变形公式有:sin=cos tan;cos=.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)因为sin2 +cos2 =1,所以sin2+cos2=1成立,其中,为任意角.()(2)对任意角,sin2 +cos2 =1都成立.()(3)对任意的角,都有=tan 成立.()提示:(1).由同角三角函数的基本关系式知,sin2+cos2=1,且为任意角.(2).在sin2+cos2=1中,令=可得sin2 +cos2 =1.(3).当=+k,
3、kZ时就不成立.2.已知 sin=,则cos=()【解析】选A.因为是第一象限角,所以cos=3.化简(1+tan2)cos2等于()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.原式=cos2=cos2+sin2=1.4.已知sin+cos=,则sin cos=_.【解析】因为sin+cos=,所以(sin+cos)2=.所以sin2+2sin cos+cos2=.所以1+2sin cos=.所以sin cos=-.答案:-类型一 利用同角三角函数的关系求值【典例】1.若sin=-,且为第三象限角,则tan 的值等于()2.已知sin+cos=-,0.(1)求sin cos 的值.(2)求s
4、in-cos 的值.【思维引】1.根据sin=-和sin2+cos2=1列方程组求tan.2.已知sin+cos=-,两边平方再利用sin2+cos2=1,即可求出sin cos,再把sin-cos 两边平方即可,注意角的范围.【解析】1.选C.因为为第三象限角,所以cos=2.(1)由sin+cos=-得(sin+cos)2=,sin2+2sin cos+cos2=,sin cos=-.(2)因为0,sin cos 0,cos 0.sin-cos=【内化悟】1.已知角的某一个三角函数值求其他三角函数值常用哪些公式?提示:根据已知条件和平方关系sin2+cos2=1;商数关系=tan(k+,k
5、Z).2.已知sin cos 的值时,怎样求sin cos 的值?提示:已知sin cos 的值,求sin cos 的值时,常用平方关系整体构造求值.解题时一定特别注意角的取值范围.【类题通】求三角函数值的方法(1)已知sin(或cos)求tan 常用以下方式求解(2)已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题,我们可利用平方关系或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及(sin cos)2=1 2sin cos 的等价转化,是分析解决问题的突破口.【习练破】(1)已知tan=,且是第三象限角,求sin,cos 的值.(2)已知sin cos=-,且0,求tan 的值.【解析】(1)由t
6、an=得sin=cos,又sin2+cos2=1,由得cos2+cos2=1,即cos2=.又是第三象限角,故cos=(2)方法一:因为sin cos=-,sin2+cos2=1,所以sin2+cos2+2sin cos=1+2所以(sin+cos)2=,所以sin+cos=.同理(sin-cos)2=1-2sin cos=1+因为sin cos=-0,0,所以0,cos 0,所以sin-cos=.由所以tan=-或tan=-.方法二:因为sin cos=-所以所以所以12tan2+25tan+12=0,所以(3tan+4)(4tan+3)=0,所以tan=-或tan=-.【加练固】(1)已知
7、cos=-,求sin 和tan.(2)已知sin+3cos=0,求sin,cos 的值.【解析】(1)sin2=1-cos2=1-因为cos=-0,所以是第二或第三象限角,当是第二象限角时,sin=当是第三象限角时,sin=(2)因为sin+3cos=0.又sin2+cos2=1,得(-3cos)2+cos2=1,即10cos2=1.所以cos=.又由sin=-3cos,可知sin 与cos 异号,所以在第二、四象限.当是第二象限角时,sin=当是第四象限角时,sin=类型二 利用同角三角函数的关系化简【典例】1.已知tan=2,求下列各式的值(1)(3)2sin2-sin cos+cos2.
8、2.已知是第三象限角,化简:世纪金榜导学号【思维引】1.根据商数关系把齐次式的分子分母同时除以cos 的n次方,进行弦化切运算;若题目中没有分母,一般把分母化为1,再利用1=sin2+cos2转化.2.对于含有根号的三角函数式,常把根号里面的部分利用平方差公式和平方关系化简,然后去根号达到化简的目的.【解析】1.因为tan=2,所以(1)(3)2sin2-sin cos+cos22.原式=因为是第三象限角,所以cos 0.所以原式=-2tan.【内化悟】已知正切值,怎样求关于弦的代数式的值?提示:在已知正切值,求弦的值时,我们一般采用分子分母同除以余弦,化为正切的方式.【类题通】已知角的正切求
9、关于sin,cos 的齐次式的方法(1)关于sin,cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin,cos 的式子且它们的次数之和相同,设为n次,将分子、分母同除以cos 的n次幂,其式子可化为关于tan 的式子,再代入求值.(2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin2+cos2来代换,将分子、分母同除以cos2,可化为关于tan 的式子,再代入求值.【习练破】1.化简:=_.【解析】原式=答案:cos 802.已知(1)求tan 的值.(2)求的值.【解析】(1)由得3tan2-2tan-1=0,即(3tan+1)(tan-1)=0,解得tan=-或tan=1.因为 ,所以tan 0,
10、所以tan=-.(2)由(1),得tan=-,所以【加练固】已知sin+2cos=0,求2sin cos-cos2的值.【解析】由sin+2cos=0,得tan=-2.所以2sin cos-cos2=类型三 利用三角函数的关系证明恒等式【典例】求证:世纪金榜导学号【思维引】把比较复杂的左端化简,使之与右边相等.【证明】左边=所以原等式成立.【类题通】证明三角恒等式的常用方法(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等.【习练破】已知tan2=2tan2+1,求证:sin2=2sin2-1.【证明】因为tan2=2tan2+1,所以tan2+1=2tan2+2,所以通分可得即cos2=2cos2,所以1-sin2=2(1-sin2),即sin2=2sin2-1.【加练固】求证【证明】方法一:左边=右边,所以原等式成立.方法二:右边=左边,所以原等式成立.
