1、第2课时 独立事件的概率必备知识自主学习 独立事件(1)定义:一般地,如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率,那么称A,B为相互独立事件.(2)独立事件的概率计算公式:A,B相互独立P(AB)=P(A)P(B).说明:若A,B相互独立,则与B,A与也相互独立.导思 1.如何判断两个事件是否为独立事件?2.如何求相互独立事件的概率?【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.()(2)必然事件与任何一个事件相互独立.()(3)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.()提示:(1).不可能事件的发生对任何一个事件的发生没
2、有影响.(2).必然事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.(3).根据相互独立的定义可知正确.2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为()A.1-a-bB.1-abC.(1-a)(1-b)D.1-(1-a)(1-b)【解析】选C.设A表示“第一道工序的产品为正品”,B表示“第二道工序的产品为正品”,则P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).3.(教材二次开发:习题改编)甲、乙两人独立地破译某个密码,甲译出密码的概率为0.35,乙译出密码的概率为0.25,则恰有1人译出密码的概率为_.【解析】记甲,乙两人译出密码分别为事
3、件A,B,则P(A)=0.35,P(B)=0.25,恰有一人译出密码为事件A+B,所以P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)=0.35(1-0.25)+0.25(1-0.35)=0.425.答案:0.425关键能力合作学习类型一 事件独立性的判断(逻辑推理)【题组训练】1.一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与是()A.相互独立事件 B.不相互独立事件C.互斥事件D.对立事件2.抛掷3枚质地均匀的硬币,若A=既有正面向上又有反面向上,B=至多有1枚反面向上,则A与B()A.是互斥事件B.是对立事件C.是相互独立事件D
4、.不是相互独立事件3.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是()A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又独立【解题策略】两事件是否相互独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响;(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B相互独立.类型二 求相互独立事件的概率(逻辑推理、数学运算)【典例】甲、乙二人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.8,乙破译密码的概率为0.7.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.(1)求甲、乙二人都破译密码的概率;(2)求
5、恰有一人破译密码的概率;(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下:解:“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”,所以随机事件“密码被破译”可以表示为A+B,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5.请指出小明同学错误的原因并给出正确解答过程.【解题策略】求相互独立事件概率的步骤(1)确定各事件之间是相互独立的.(2)确定这些事件可以同时发生.(3)求出每个事件发生的概率,再根据相互独立事件的概率计算公式求解.【跟踪训练】甲、乙2个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求:(1)2个人都译出密码的概率;(2)2个人都译不出密码的概率;(3
6、)至多1个人译出密码的概率.类型三 独立事件概率的应用(逻辑推理、数学建模)【典例】随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为,;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为,;两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.【思路导引】(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元,求出概率
7、,由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率.(2)先分析两人费用之和大于或等于8的事件所包含的事件,由此能求出两人费用之和大于或等于8的概率.【解题策略】求解概率综合应用问题的思路(1)“大化小”,即将问题化为若干个彼此互斥或相互独立的事件.(2)运用概率的加法公式和乘法公式求解,在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立,只有相互独立才能运用乘法公式.(3)正难则反,间接处理.在求事件的概率时,若遇到“至少”或“至多”等概率问题,可从求对立事件的概率计算.【跟踪训练】1.A,B,C三人将参加某项测试,三人能否达标互不影响,已知他们能达标的概率分别是,则三人都能达标的概率是_,三人
8、中至少有一人能达标的概率是_.2.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为,若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测,则(1)三人都合格的概率;(2)三人都不合格的概率;(3)出现几人合格的概率最大.1.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为()A.0.28B.0.12C.0.42D.0.16【解析】选B.甲未通过的概率为0.3,则甲未通过而乙通过的概率为0.30.4=0.12.课堂检测素养达标2.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸
9、球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是()A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件【解析】选D.互斥事件是在一定条件下不可能同时发生的事件,故可判断A,B不互斥,则也不对立,事件A发生对事件B的概率有影响,故A与B是不相互独立事件.3.(教材二次开发:练习改编)打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以P(甲)=,P(乙)=,所以他们都中靶的概率是P=.4.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是_.【解析】透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为P1=0.3,恰在第二次落地打破的概率为P2=0.70.4=0.28,恰在第三次落地打破的概率为P3=0.70.60.9=0.378,所以落地3次以内被打破的概率P=P1+P2+P3=0.958.答案:0.9585.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为,求灯亮的概率.
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