1、7.2.3 同角三角函数的基本关系式基础预习初探sin cos tan sin2+cos23045601.写出下列各角的三角函数值,观察它们的值,猜想它们之间的联系.提示:下列角的三角函数值为:sin cos tan sin2+cos230145111601由表可看出:sin230+cos230=1,=tan 30,sin245+cos245=1,=tan 45,sin260+cos260=1,=tan 60.2.设角的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sin,x=cos,=tan.(1)能否根据x,y的关系得到sin,cos,tan 的关系?提示:sin2+cos2=1
2、,tan=.(2)公式sin2+cos2=1与tan=对任意角都成立吗?提示:sin2+cos2=1对任意角均成立,当k+,kZ时,tan=成立.【概念生成】1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:_(2)商数关系:_sin 2+cos 2=1.2.常用的等价变形核心互动探究探究点一 根据同角三角函数关系求值【典例1】(1)已知sin=,是第二象限角,求cos,tan.(2)已知sin+cos=,(0,),求tan 与sin-cos 的值.【思维导引】(1)先由平方关系sin2+cos2=1,结合所在象限求cos,然后由tan=,求tan.(2)通过平方求出sin cos,再由sin-co
3、s=得到sin-cos 的值,与sin+cos=联立,可求得sin,cos,进而求得tan.【解析】(1)因为sin2+cos2=1,是第二象限角,所以,故.(2)由sin+cos=平方得1+2sin cos=,所以sin cos=-,因为(0,),所以cos 0,所以sin-cos=,与sin+cos=联立解得,sin=,cos=-,所以tan=.【类题通法】1.求同角三角函数值的一般步骤(1)根据已知三角函数值的符号,确定角所在的象限.(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论.(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值.2.已知sin cos 的求值问题的解法对于已知s
4、in cos 的求值问题,一般利用整体代入的方法来解决,其具体的解法为:(1)用sin 表示cos(或用cos 表示sin),代入sin2+cos2=1,根据角的终边所在的象限解二次方程得sin 的值(或cos 的值),再求其他,如tan(体现方程思想).(2)利用sin cos 及sin2+cos2=1,先求出sin cos 的值,然后结合sin cos 的值求解sin,cos 的值,最后求其他.【定向训练】1.(2020柳江高一检测)已知sin-cos=,则sin cos 的值是.【解析】由sin-cos=,两边平方可得sin2+cos2-2sin cos=1-2sin cos=.解得si
5、n cos=.答案:2.已知sin=,求cos,tan 的值.【解析】因为sin=0,所以是第一或第二象限角.当为第一象限角时,;当为第二象限角时,cos=,tan=-.探究点二 化简三角函数式【典例2】化简与求值:(1)(2)【思维导引】(1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式.(2)中所含角的三角函数次数相对较高,且分子、分母含常数“1”.解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin2+cos2=1”这一条件.【解析】(1)原式=(2)方法一:原式方法二:原式【类题通法】三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到
6、化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助因式分解,或构造sin2+cos2=1,以降低函数次数,达到化简的目的.【定向训练】化简下列各式:(1)(是第二象限角).(2)【解析】(1)tan=tan=tan=.因为为第二象限角,所以sin 0,cos 0,所以原式=(2)探究点三 三角恒等式的证明【典例3】求证:【思维导引】【解析】方法一:因为右边=左边,所以原等式成立.方法二:因为左边=右边=所以左边=右边,原等式成立.【类题通法】证明三角恒等式的基本思路(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简
7、.(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子.(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异.(4)变更命题法,如要证明,可证ad=bc或证等.(5)比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“=1”.【定向训练】证明下列三角恒等式:【解析】左边=右边,所以原等式成立.【课堂小结】课堂素养达标1.已知sin=,cos=,则tan 等于()A.B.C.D.【解析】选D.因为2.若sin=-,且为第四象限角,则tan 的值等于()A.B.-C.D.-【解析】选D.因为sin=-,且为第四象限角,所以cos=,所以tan=-.3.已知sin-3cos=0,则sin 2+sin cos 值为()A.B.C.3D.4【解析】选B.因为sin-3cos=0,所以tan=3,又sin2+sin cos=4.化简sin2+sin2-sin2sin2+cos2cos2=.【解析】原式=sin 2(1-sin 2)+sin 2+cos 2cos 2=sin 2cos 2+cos 2cos 2+sin 2=cos 2(sin 2+cos 2)+sin 2=1.答案:15.(2020黑山高一检测)(1)已知cos=-,且为第三象限角,求sin,tan 的值.(2)已知tan=3,求的值.【解析】(1)因为cos=-,且为第三象限角,所以(2)因为tan=3,所以
