1、小题压轴题专练22立体几何（翻折问题）一单选题1如图，四边形为矩形，是的中点，将沿翻折至的位置（点平面，设线段的中点为则在翻折过程中，下列推断不正确的是A平面B的长度恒定不变CD异面直线与所成角的大小恒定不变2如图甲，在梯形中，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是平面；平面；平面A0B1C2D33已知菱形，为边上的点（不包括，将沿对角线翻折，在翻折过程中，记直线与所成角的最小值为，最大值为，A，均与位置有关B与位置有关，与位置无关C与位置无关，与位置有关D，均与位置无关4如图所示，在直角梯形中，分别是，上的点，且（如图，将四边形沿
2、折起，连结、（如图在折起的过程中，下列说法中正确的个数平面；、四点可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直A0B1C2D35如图，在直角梯形中，且为的中点，、分别是、的中点，将沿折起，则下列说法正确的个数是不论折至何位置（不在平面内），都有平面；不论折至何位置（不在平面内），都有；不论折至何位置（不在平面内），都有；在折起过程中，一定存在某个位置，使A1B2C3D46已知菱形中，将沿折起至，使平面平面，则四面体中，与所成角的余弦值为A0BCD7如图，在矩形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的正弦值为ABCD8如图，边长为4正方形中，、分别为、中点，将，
3、沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为ABCD二多选题9在四边形中，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题错误的是A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面10如图，四边形中，将沿折到位置，使得平面平面，则以下结论中正确的是A三棱锥的体积为8B三棱锥的外接球的表面积为C二面角的正切值为D异面直线与所成角的余弦值为11如图所示，在矩形中，为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，为垂足设，则下列说法正确的是A若平面，则B若平面，则C若平面平面，且，则D若平面平面，且，则12已知菱形的边长为2，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为直二面角，设为的中点，为
4、三棱锥表面上的动点，则A四面体的外接球的半径为B与所成的角C线段的最大值是D若，则点轨迹的长度为三填空题13如图，四边形中，为等边三角形，为等腰直角三角形，现将沿折起，当二面角为时，异面直线与所成角的余弦值为 14农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为 （用最简根式表示）；在该四面体的所有棱和面所成的异面
5、直线所成的角、二面角中最小的角的余弦值为 15如图，长为4，宽为2的矩形纸片中，为边的中点，将沿直线翻转平面，若为线段的中点，则在翻转过程中，下列正确的命题序号是 平面；异面直线与所成角是定值；三棱锥体积的最大值是；一定存在某个位置，使16如图，的正方形纸片，剪去对角的两个的小正方形，然后沿虚线折起，分别粘合与，与，与，与，得到一几何体，记上的棱与的夹角为，则下列说法正确的是 几何体中，；几何体是六面体；的体积为；小题压轴题专练22立体几何（翻折问题）答案1解：取的中点，连接，交于，由题意可知为的中点，所以，所以平面平面，所以正确；因为（定值），（定值），（定值），在中由余弦定理可知的长是定值
6、，所以正确若，则，所以，所以，若，又，则有面，所以有，这与不垂直于相矛盾，所以不正确；由知在翻折过程中的形状不变，点的位置也不会发生改变，所以大小不变，又易证，所以是异面直线与所成的角，所以异面直线与所成角的大小恒定不变，故正确故选：2解：如图甲，在梯形中，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点不落在平面内（如图乙），对于，由题意得，四边形是平行四边形，平面，平面，平面，故正确；对于，取中点，连接，是中点，与相交，与平面相交，故错误；对于，连接，交于点，连接，四边形是平行四边形，是中点，平面，平面，平面，故正确故选：3解：作交于点，分别取，的中点，连接，如图所示，由翻折前该四边形为菱形，且，所
7、以，为等边三角形，同时点在上，由，且，平面，故平面，又，则平面，又平面，所以，直线与所成的角即直线与所成的角，即，所以，由点不与，重合，则当点翻折到与点重合时，最小，为最小值，与点位置无关，当没有翻折时，最大，最大，则最大，与点位置有关，所以与位置无关，与位置有关故选：4解：对，在图中，连接，交于点，取中点，连接，则为平行四边形，即，所以平面，故正确；对，如果、四点共面，则由平面，可得，又，所以，这样四边形为平行四边形，与已知矛盾，故不正确；对，在梯形中，由平面几何知识易得，又，平面，即有，平面，则平面平面，故正确；对，在图中，延长至，使得，连接，由题意得平面平面，四点共面过作于，则平面，若平
8、面平面，则过作直线与平面垂直，其垂足在上，矛盾，故错误故选：5解：由已知，在未折叠的原梯形中，所以四边形为平行四边形，则，折叠后如图所示，过点作，交于点，连结，因为，分别是，的中点，所以为的中点，故，又，所以平面平面，又平面，所以平面，故正确；由已知，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故正确；假设，则与确定平面，从而平面，平面，与和是异面直线矛盾，故错误；当时，因为，平面，所以平面，又平面，所以，故正确所以说法正确的个数是3个故选：6解：连结交于点，连结和，因为为菱形，所以，因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，又平面，则，因为为菱形，且，所以是边长为2的等边三角形，所以，因为沿折起
9、至，所以，在中，在中，由余弦定理可得，又，所以与所成角即为，故与所成角的余弦值为故选：7解：如图，连接交于点，取的中点，连接，则且，（或其补角）为异面直线与所成的角在矩形中，由，得，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，得，又，在中，得异面直线与所成角的正弦值为，故选：8解：取的中点，连接，且点的延长线过点，故平面，根据对称性可知在底面平面内的射影点必在上，记为点，以为坐标原点，方向为轴，过点垂直于方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如图示：，故，故为等腰直角三角形，故，故，故，0，0，设，故，故，不妨设，当时取“”，故直线与夹角余弦值的最大值为：，故选：9解：因为在四边形中，所以，又
10、平面平面，且平面平面，故平面，则，又，故平面，所以平面平面，故正确；设，则，由，又，可得平面，可得，所以为平面与平面所成角，且其正切值，不为直角，故错误；为平面与平面所成角，为，故错误；若平面平面，取的中点，可得，则平面，平面，可得，而中，显然不为直角三角形，故错误故选：10解：如图1，在中，过作的垂线，垂足为，取的中点，过作的垂线，垂足为，设，则，在中，由，得，在中，在中，和的外接圆的圆心为，且外接圆的半径为，对于，由平面平面，且，得平面，三棱棱的体积为，故正确；对于，如图2，当将沿折到位置，使得平面平面时，设此时的外接圆的圆心为，则平面，平面，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，根据球的性质
11、可知球心到平面的距离，外接球的表面积为，故正确；对于，如图3，在中，过作于，连接，由题意知是二面角的平面角，在中，故正确；对于，如图4，在中，过作作，垂足为，过作，垂足为，连接，则，异面直线与所成角为与直线所成角，在中，故错误故选：11解：选项，因为平面，所以，又在中，所以，所以，故正确选项，因为平面，所以，在中，；在中，即，解得，故错误过点作，垂足为，连接选项，因为平面平面，所以平面，所以，又，所以平面，所以当时，为中点，所以，为等腰直角三角形因为，所以，故正确选项，因为平面平面，所以平面，所以，又，所以平面，所以由翻折过程得，所以，所以，代入，解得故不正确故选：12解：对于，如图1，设的外
12、心为，的外心为，取中点为，因为二面角为直二面角，所以面，面，且，可得，过作面的垂线，过作面的垂线，两垂线的交点为四面体的外接球的球心，其半径故正确；对于，分别取，的中点，连接，故，所以与所成的角，即正确；对于，故错；对于，若，分别取，的中点，连接，则点轨迹的长度为，即成立故选：13解：如图所示，取的中点，连接，是二面角的平面角，因此，作平面，垂足为点，则，三点共线，可得，由题意，0，0，1，1，异面直线与所成角的余弦值为14解：如图示：对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中，设长方体的长宽高分别为，则，解得：，四面体为，四面体的全面积为，内切球半径为，则，设，取的
13、中点，连接，则，故长为6的两组对棱所成的角的余弦值都是，长为4的两组对棱所成的角为直角，由于四面体的面积为，故各个面上的高都是相等的，设为，则，当棱的长选取最长为6时，该棱与相应各面所成的角最小，其正弦值为，余弦值为，故各异面直线所成的角，线面所成的角中最小的角的余弦值是，故答案为：，15解：对于，延长，交于，连接，由为的中点，可得为的中点，又为的中点，可得，平面，平面，则平面，正确；对于，过作，平面，则是异面直线与所成的角或所成角的补角，且，在中，则为定值，即为定值，正确；对于，设为的中点，连接，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得平面平面时，三棱锥的体积最大，最大体积为，正确；对于，连接，可得，若，即有平面，即有，由在平面中的射影为，可得与垂直，但与不垂直；则不存在某个位置，使，错误；故答案为：16解：取，的中点，连接，由已知可得，所以，则平面，故正确；因为，所以平面，同理可得平面，因为平面与平面共面，面与面共面，与共线，所以该几何体为四面体，故错误；因为，所以为直角三角形，所以，又因为平面，所以该几何体的体积为，故正确；，又因为，所以，所以，由，所以为异面直线，所成角或其补角，即，故正确故答案为：
