1、 北京市西城区 2014 年高三二模试卷 数学（文科）2014.5第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合|20Ax x，集合|1Bx x，则（）（A）AB（B）BA（C）AB（D）AB 2在复平面内，复数=(12i)(1 i)z对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3直线2yx为双曲线2222 1(0,0)xyCabab：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）（A）3（B）32（C）5（D）524某四棱锥的三视图如图所示，记 A 为此棱锥所有棱的长度的
2、集合，则（）（A）2A，且4A（B）2A，且4A（C）2A，且2 5A（D）2A，且 17A正(主)视图俯视图侧(左)视图4141115设平面向量a，b，c 均为非零向量，则“()0abc”是“bc”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6在 ABC 中，若4a，3b，1cos3A，则 B （）（A）4（B）3（C）6（D）237.设函数2244,()log,4.xxxf xxx 若函数()yf x在区间(,1)a a 上单调递增，则实数a的取值范围是（）（A）(,1（B）1,4（C）4,)（D）(,14,)8.设 为平面直角坐标系 xO
3、y 中的点集，从 中的任意一点 P作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 M，N，记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x ，点 N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y .如果 是边长为 1 的正方形，那么()()xy 的取值范围是（）（A）2,2 2（B）2,2 2（C）1,2（D）1,2 2 第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9在等差数列na中，11a，47a，则公差d _；12naaa_.10设抛物线2 4C yx：的焦点为 F，M 为抛物线C 上一点，且点 M 的横坐标为 2，则|MF.11执行如图所示的程序框图，输出的
4、a 值为_12在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组0,0,8 0 xyxy 所表示的平面区域是，不等式组440,0 xy 所表示的平面区域是 .从区域 中随机取一点(,)P x y，则 P 为区域 内的点的概率是_13已知正方形 ABCD，AB=2，若将 ABD沿正方形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体 ABCD的体积的最大值是_.14已知 f 是有序数对集合*(,)|,Mx yxyNN=挝上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射 f 下的象为实数 z，记作(,)f x yz=.对于任意的正整数,()m n mn，映射 f 由下表给出：(,)x y(,)n n(
5、,)m n(,)n m(,)f x ynmn-mn+则(3,5)f=_，使不等式(2,)4xfx 成立的 x 的集合是_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分）开始a=3,i=1i 511aaa i=i+1结束输出 a是否已知函数()cos(sincos)1f xxxx.（）求函数()f x 的最小正周期；（）当,02x 时，求函数()f x 的最大值和最小值.16（本小题满分 13 分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的 A，B 两班中各抽 5 名学生进行视力检测检测的数据如下：A 班 5 名
6、学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班 5 名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（）由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（）根据数据推断 A 班全班 40 名学生中有几名学生的视力大于 4.6?17（本小题满分 14 分）如图，在正方体1111DCBAABCD 中，12AA，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点.（）求证：平面11ABD 平面11ABB A；（）求证：/EO平面 ABCD；（）设 P 为正方体1111DCBAABCD 棱上一点，
7、给出满足条件2OP 的点 P 的个数，并说明理由.18（本小题满分 13 分）已知函数2e()1xf xaxx，其中 aR.ABA1 B1DCD1 C1OE（）若0a，求函数()f x 的定义域和极值；（）当1a 时，试确定函数()()1g xf x 的零点个数，并证明.19（本小题满分 14 分）设12,F F 分别为椭圆22:12xWy的左、右焦点，斜率为 k 的直线l 经过右焦点2F，且与椭圆 W 相交于,A B 两点.（）求1ABF的周长；（）如果1ABF为直角三角形，求直线l 的斜率k.20（本小题满分 13 分）在无穷数列na中，11a ，对于任意*nN，都有*na N，1nnaa
8、.设*mN，记使得nam成立的n 的最大值为mb.（）设数列na为 1，3，5，7，写出1b，2b，3b 的值；（）若na为等比数列，且22a，求12350bbbb的值；（）若 nb为等差数列，求出所有可能的数列na.北京市西城区 2014 年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学（文科）2014.5一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1D 2A 3C 4D 5B 6A 7D8B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.922n10311 212 1213 2 231481,2注：第 9，14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大
9、题共 6 小题，共 80 分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15（本小题满分 13 分）（）解：2()sin coscos1f xxxx11cos2sin 2122xx 4 分111sin 2cos2222xx21sin(2)242x，6 分所以函数()f x 的最小正周期为22T.7 分（）解：由02x，得52444x-.所以21sin(2)42x，9 分所以2121sin(2)2242x1，即21()12f x .11 分当242x ，即8x 时，函数()f x 取到最小值21()82f；12 分当5244x ，即2x 时，函数()f x 取到最大值()12f.13 分16（本小题
10、满分 13 分）（）解：A 班 5 名学生的视力平均数为A4.3+5.1+4.6+4.14.9=4.65x，2 分B 班 5 名学生的视力平均数为B5.1+4.9+4.0+4.04.5=4.55x.3 分从数据结果来看 A 班学生的视力较好.4 分（）解：B 班 5 名学生视力的方差较大.8 分（）解：在 A 班抽取的 5 名学生中，视力大于 4.6 的有 2 名，所以这 5 名学生视力大于 4.6 的频率为 25 11 分所以全班 40 名学生中视力大于 4.6 的大约有240165名，则根据数据可推断 A 班有 16 名学生视力大于 4.6 13 分17（本小题满分 14 分）（）证明：在
11、正方体1111DCBAABCD 中，因为11AD 平面11ABB A，11AD 平面11A BD，所以平面11ABD 平面11ABB A.4 分（）证明：连接 BD，AC，设 BDACG，连接OG.因为1111DCBAABCD 为正方体，所以1/DDAE，且121 DDAE，且G 是 BD 的中点，又因为O 是1BD 的中点，所以1/DDOG，且121 DDOG，所以AEOG/，且AEOG，即四边形 AGOE是平行四边形，所以/EO AG，6 分又因为 EO 平面 ABCD，AG平面 ABCD，所以/EO平面 ABCD.9 分（）解：满足条件2OP 的点 P 有 12 个.12 分 ABA1
12、B1DCD1 C1OEG理由如下：因为1111DCBAABCD 为正方体，12AA，所以2 2AC.所以122EOAGAC.13 分在正方体1111DCBAABCD 中，因为1AA 平面 ABCD，AG 平面 ABCD，所以1AAAG，又因为/EO AG，所以1AAOE，则点O 到棱1AA 的距离为2，所以在棱1AA 上有且只有一个点（即中点 E）到点O 的距离等于2，同理，正方体1111DCBAABCD 每条棱的中点到点O 的距离都等于2，所以在正方体1111DCBAABCD 棱上使得2OP 的点 P 有 12 个.14 分18.（本小题满分 13 分）（）解：函数e()1xf xx的定义域
13、为|x xR，且1x .1 分22e(1)ee()(1)(1)xxxxxfxxx.3 分令()0fx，得0 x，当 x 变化时，()f x 和()fx的变化情况如下：x (,1)(1,0)0 (0,)()fx 0 ()f x 4 分 故()f x 的单调减区间为(,1)，(1,0)；单调增区间为(0,)所以当0 x 时，函数()f x 有极小值(0)1f.5 分（）解：结论：函数()g x 存在两个零点.证明过程如下：由题意，函数2e()11xg xxx，因为22131()024xxx，所以函数()g x 的定义域为 R.6 分求导，得22222e(1)e(21)e(1)()(1)(1)xxx
14、xxxx xg xxxxx，7 分令()0g x，得10 x，21x ，当 x 变化时，()g x 和()g x的变化情况如下：x (,0)0 (0,1)1(1,)()g x 0 0 ()g x 故函数()g x 的单调减区间为(0,1)；单调增区间为(,0)，(1,)当0 x 时，函 数()g x 有 极 大 值(0)0g；当1x 时，函 数()g x 有 极 小 值e(1)13g.9 分因为函数()g x 在(,0)单调递增，且(0)0g，所以对于任意(,0)x，()0g x.10 分因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g，所以对于任意(0,1)x，()0g x.11 分因
15、为函数()g x 在(1,)单调递增，且e(1)103g，2e(2)107g，所以函数()g x 在(1,)上仅存在一个0 x，使得函数0()0g x，12 分故函数()g x 存在两个零点（即0 和0 x）.13 分19（本小题满分 14 分）（）解：椭圆W 的长半轴长2a，左焦点1(1,0)F，右焦点2(1,0)F，2 分由椭圆的定义，得12|2AFAFa，12|2BFBFa，所以1ABF的周长为1212|44 2AFAFBFBFa.5 分（）解：因为1ABF为直角三角形，所以o190BF A，或o190BAF，或o190ABF，当o190BF A时，设直线 AB 的方程为(1)yk x，
16、11(,)A x y，22(,)B x y，6 分由221,2(1),xyyk x得2222(1 2)4220kxk xk，7 分所以2122412kxxk，21222212kx xk.8 分由o190BF A，得110F A F B，9 分因为111(1,)F Axy，122(1,)F Bxy，所以11121212()1F A F Bx xxxy y 21 21212()1(1)(1)x xxxkxx 2221 212(1)(1)()1kx xkxxk 2222222224(1)(1)101 21 2kkkkkkk，10 分解得77k .11 分当o190BAF（与o190ABF相同）时，则
17、点 A 在以线段12F F 为直径的圆221xy 上，也在椭圆 W 上，由22221,21,xyxy解得(0,1)A，或(0,1)A，13 分根据两点间斜率公式，得1k ，综上，直线l 的斜率77k ，或1k 时，1ABF为直角三角形.14 分20（本小题满分 13 分）（）解：11b，21b ，32b.3 分（）解：因为na为等比数列，11a ，22a，所以12nna，4 分因为使得nam成立的n 的最大值为mb，所以11b，232bb，45673bbbb，89154bbb，1617315bbb，3233506bbb，6 分所以12350243bbbb.8 分（）解：由题意，得1231naaaa，结合条件*na N，得nna .9 分 又因为使得nam成立的n 的最大值为mb，使得1nam成立的n 的最大值为1mb ，所以11b，*1()mmbbmN.10 分设2ak，则 2k.假设2k，即2 2ak，则当2n 时，2na；当3n 时，1nka.所以21b ，2kb.因为 nb为等差数列，所以公差210dbb，所以1nb ，其中*nN.这与2(2)kbk矛盾，所以22a.11分又因为123naaaa，所以22b，由 nb为等差数列，得nbn，其中*nN.12 分因为使得nam成立的n 的最大值为mb，所以nna ，由nna ，得nna.13 分
