1、二 极坐标系 第1课时 极坐标系的概念【自主预习】1.极坐标系(1)取极点:平面内取一个_.(2)作极轴:自极点引一条射线Ox.(3)定单位:选定一个长度单位,一个角度单位(通常取 弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).定点O 2.点的极坐标(1)定义:有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为 _.(2)意义:=_,即极点O与点M的距离(0).=_,即以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角.M(,)|OM|xOM【即时小测】1.极坐标系中,下列与点(1,)相同的点为()A.(1,0)B.(2,)C.(1,2016)D.(1,2017)【解析】选D.点(1,)的极径为1,极角为,由终边相同的角的概念得
2、,点(1,)与点(1,2017)相同.2.点M的直角坐标是(-1,),则点M的极点坐标为 ()3A.(2)B.(2,)332C.(2,)D.(2,2k)(kZ)33，【解析】选C.由2=x2+y2,得2=4,=2,则cos=x得:cos=-,结合点在第二象限得:=,则点M的极坐标为 12232(2).3，【知识探究】探究点 极坐标系 1.平面直角坐标系与极坐标系有什么不同?提示:(1)两种坐标系形式上的区别是直角坐标系有原点,x轴,y轴,极坐标系有极点、极轴.(2)点的直角坐标是有序实数对(x,y),点的极坐标是(,).2.极坐标系中,点的极坐标唯一吗?提示:(1)由于极坐标系中,对于给定的有
3、序数对(,)都有唯一确定的点与之对应,但是,对于给定一点M,可以有无数个有序数对(,+2k)(kZ)与之对应,所以极坐标系中的点与极坐标不能建立一一对应关系.(2)如果规定0,02,那么除极点外的任意一点都有唯一的极坐标(,)与之对应,反之亦然.【归纳总结】1.极坐标系的四要素 极点;极轴;长度单位;角度单位和它的正方向.四者缺一不可.2.在极坐标系中找点的位置,应先确定极角,再确定极径,最终确定点的位置.特别提醒:若已知点的极坐标(,),则点是确定的,反之,若已知点,则其极坐标不确定.类型一 极坐标系与点的极坐标【典例】在极坐标系中,点P 到极点的距离为 _,点P 到极轴的距离为_.(2)6
4、，(2)6，【解题探究】怎样求点到极点和极轴的距离?提示:点到极点的距离等于极径,点到极轴的距离转化为三角函数计算.【解析】因为在极坐标系中,点P ,=2,=,所 以点P到极点的距离为2,点P到极轴的距离为2sin =1.答案:2 1(2)6，66【方法技巧】确定点的极坐标的方法 点P的极坐标的一般形式为(,+2k),kZ,则(1)为点P到极点的距离,是个定值.(2)极角为满足+2k,kZ的任意角,不唯一,其中是始边在极轴上,终边过OP的任意一个角,一般取绝对值较小的角.【变式训练】1.在极坐标系中,极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,则点M的极坐标的下列表示:(2,0);(2,);(2
5、,-);(2,2k)(kZ).其中,正确表示的序号为_.【解析】由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,极角的始边为Ox,终边与平角的终边相同,故点M的极坐标为(2,+2k)(kZ),故正确.答案:2.如图,在极坐标系中,(1)作出以下各点:(2)求点E,F的极坐标(,)(0,R).33A(5 0)B(3)C(4)D(2).622，【解析】(1)如图,在极坐标系中,点A,B,C,D的位置是 确定的.(2)由于点E的极径为4,在0,2)内,极角 又因为点的极坐标为(,)(0,R),76，所以点E的极坐标为 同理,点F的极坐标为 7(4 2k)kZ.6，2(3 2k)kZ.3，类型二 极坐标
6、系中两点间的距离【典例】在极坐标系中,点O为极点,已知点 求|AB|的值.A(6)6，2B(6)3，【解题探究】根据点A,B在极坐标系中的位置关系,可得AOB为多少度?提示:AOB=90.【解析】因为 故AOB=90,故 2362，22AB666 2.【延伸探究】1.本例已知条件不变,试求AOB的面积.【解析】因为 故AOB=90,所以SAOB=2362，1 6 618.2 2.本例已知条件不变,试求线段AB中点的极坐标.【解析】设线段AB中点M的极坐标为(,),则 故线段AB中点M的极坐标为 2563212，2366 cos()3 22 ，5(3 2).12，【方法技巧】点与极坐标的对应关系
7、以及两点间的距离公式(1)在极坐标系中,点的极坐标不唯一,这是由于与角 1的终边相同的角的集合为|=1+2k,kZ.如果限定 0,0,2),那么,除极点外,点与有序数对(,)可以建立一一对应关系.(2)在极坐标系中,如果P1(1,1),P2(2,2),那么 两点间的距离公式 的两种 特殊情形为:当 1=2+2k,kZ时,|P1P2|=|1-2|;当 1=2+2k,kZ时,|P1P2|=|1+2|.221 2121212|PP|2cos()【变式训练】1.(2016南昌高二检测)在极坐标系中,两点 间的距离是()A.B.C.6 D.4 57A(5,)B(7,)412，4139【解析】选B.|AB
8、|=221212122cos()39.2.在极坐标系中,若ABC的三个顶点为 判断三角形的形状.55A(5)B(8)26，7C(3)6，【解析】所以ABC是等边三角形.22255AB582 5 8 cos()4926 ，22222257AC532 5 3 cos()492657BC832 8 3 cos()4966 ，自我纠错 已知距离求点的极坐标【典例】已知在极坐标系中,O为极点,B(,),OAOB,|AB|=5,0,0,2),求点B的极坐 标.A(3)6，【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是对题目中的垂直条件理解不全面,导致确定极角时漏掉一种情况.正确解答过程如下:【解析】由OAOB,得 kZ,即 kZ,由0,2),得 由 得 故=4.所以点B的极坐标为 2k62，2k62，2533 或，2222OBABOA534，25(44.33，）或（，）|AB|5，