1、2014-2015学年甘肃省天水一中高三（上）第二次段考数学试卷（文科）一选择题（共11小题，每小题5分，共60分）1已知等差数列an的前13项之和为39，则a6+a7+a8等于（）A 6B 9C 12D 182将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A y=sin（2x）B y=sin（2x）C y=sin（x）D y=sin（x）3设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A 9B 4C 3D 24若函数f（x）=x+（x2），在x=a处取最小值，则a=（）A 1+B 1+C
2、 3D 45若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是xy+1=0，则（）A a=1，b=1B a=1，b=1C a=1，b=1D a=1，b=16当x（1，2）时，不等式x2+mx+40恒成立，则m的取值范围为（）A （，5）B （，5C （5，+）D 5，+）7已知sin（2）=2sin（+），且k+（kZ），则的值为（）A B C D 8在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，则直线BE1与AF1所成角的余弦值是（）A B C D 9若a2，则函数f（x）=x3ax2+1在区间（0，2）上恰好有（）A 0个零点B 1个零点C 2个零点
3、D 3个零点10点A，B，C，D均在同一球面上，且AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A 7B 14C D 11设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（3）=0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A （3，0）（3，+）B （3，0）（0，3）C （，3）（3，+）D （，3）（0，3）二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）12已知向量，且，则=13若某几何体的三视图如图，该几何体的体积为2，则俯视图中的x=14数列an的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n1）
4、，则an的通项公式为15函数f（x）=mx2+（m3）x+1至少有一个零点为正数，则实数m的取值范围为三解答题（共6小题，共70分）16已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3（1）求a，b的值；（2）求函数y的极小值17设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，已知a1=1，且S1，S2，S4成等比数列；（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和18如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点求证：（1）直线EF面ACD；（2）平面EFC面BCD19已知f（x）=，其中向量=，=（cosx，1）（xR）（）求f （x）的周期和单调递减区间
5、；（）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=1，a=，求边长b和c的值（bc）20已知在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F分别是AD，PC的中点（）求证AD平面PBE；（）求证PA平面BEF；（）若PB=AD，求二面角FBEC的大小21已知g（x）=exx（）求g（x）的最小值；（）若存在x（0，+），使不等式x成立，求m的取值范围2014-2015学年甘肃省天水一中高三（上）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题（共11小题，每小题5分，共60分）1已知等差数列an的前13项之和为39，则a6+a7+a8等于（）
6、A 6B 9C 12D 18考点：等差数列的前n项和专题：计算题；整体思想分析：根据等差数列的前n项和的公式列得s13=39，化简得到一个关系式，然后利用等差数列的通项公式表示出所求的式子，整体代入可得值解答：解：根据等差数列的求和公式可得：s13=13a1+d=39，化简得：a1+6d=3，所以a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d=3a1+18d=3（a1+6d）=33=9故选B点评：考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式，学生做题时应注意整体代入的思想方法2将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
7、所得图象的函数解析式是（）A y=sin（2x）B y=sin（2x）C y=sin（x）D y=sin（x）考点：函数y=Asin（x+）的图象变换专题：分析法分析：先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换解答：解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x）故选C点评：本题主要考查三角函数的平移变换平移的原则是左加右减、上加下减3设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A 9B 4C
8、 3D 2考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：C（1，1），化目标函数z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点C（1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于21+1=3故选：C点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题4若函数f（x）=x+（x2），在x=a处取最小值，则a=（）A 1+B 1+C 3D 4考点：基本不等式专题：计算题分析：把函数解析式整理成基本不
9、等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值解答：解：f（x）=x+=x2+24当x2=1时，即x=3时等号成立x=a处取最小值，a=3故选C点评：本题主要考查了基本不等式的应用考查了分析问题和解决问题的能力5若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是xy+1=0，则（）A a=1，b=1B a=1，b=1C a=1，b=1D a=1，b=1考点：导数的几何意义专题：计算题；数形结合分析：根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，建立等量关系求出a，再根据点（0，b）在切线xy+1=0上求出b即可解答：解：y=2x+a|x=0=a，曲线y=x2+ax+b在点（0
10、，b）处的切线方程xy+1=0的斜率为1，a=1，又切点在切线xy+1=0上，0b+1=0b=1故选：A点评：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程，属于基础题6当x（1，2）时，不等式x2+mx+40恒成立，则m的取值范围为（）A （，5）B （，5C （5，+）D 5，+）考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：先构造函数f（x）=x2+mx+4，根据零点存在定理的应用，得到关于m的不等式组，解得即可解答：解：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x1，2由于当x（1，2）时，不等式x2+mx+40恒成立，即，即解得 m5所以m的取值范围为（，5，故选B
11、点评：本题考查函数恒成立问题，考查构造函数思想与运算求解能力，属于中档题7已知sin（2）=2sin（+），且k+（kZ），则的值为（）A B C D 考点：运用诱导公式化简求值专题：三角函数的求值分析：直接利用诱导公式化简已知条件，然后化简所求表达式的值，求解即可解答：解：sin（2）=2sin（+），sin=2cos，=故选：D点评：本题考查诱导公式的应用，萨迦寺的化简求值，开采技术能力8在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，则直线BE1与AF1所成角的余弦值是（）A B C D 考点：异面直线及其所成的角专题：空间向量及应用分析：建立空间直角
12、坐标系，先求向量 ，的坐标，利用向量的夹角的余弦值，可得异面直线所成角的余弦值，可得答案解答：解：分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，可得A（2，0，0），E1（2，1，2），B（2，2，0），F1（1，1，2），向量 =（0，1，2），=（1，1，2），向量 =1+4=3，cos，=，所以直线BE1与AF1所成角的余弦值是；故选A点评：本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系通过向量的数量积求异面直线所成的角是解决问题的关键，属中档题9若a2，则函数f（x）=x3ax2+1在区间（0，2）上恰好有（）A 0个零点B 1个零点C 2个零点D
13、3个零点考点：函数零点的判定定理分析：先根据导数判断出函数f（x）在区间0，2上单调递减，再由f（0）f（2）0可知有唯一零点解答：解：由已知得：f（x）=x（x2a），由于a2，故当0x2时f（x）0，即函数为区间（0，2）上的单调递减函数，又当a2时f（0）f（2）=4a0，故据二分法及单调性可知函数在区间（0，2）上有且只有一个零点故选B点评：本题主要考查函数零点的判断定理解答本题要结合函数的单调性判断10点A，B，C，D均在同一球面上，且AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A 7B 14C D 考点：球的体积和表面积专题：计算题；空间位置关系与
14、距离分析：三棱锥ABCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可解答：解：三棱锥ABCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d=，它的外接球半径是外接球的表面积是4（）2=14故选：B点评：本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题11设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（3）=0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A （3，0）（3，+）B （3，0）（0，3）C （，3）（3，+）D （，3）（0，3）考点：利
15、用导数研究函数的单调性专题：计算题；压轴题分析：先根据f（x）g（x）+f（x）g（x）0可确定f（x）g（x）0，进而可得到f（x）g（x）在x0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x0时也是增函数，最后根据g（3）=0可求得答案解答：解：设F（x）=f （x）g（x），当x0时，F（x）=f（x）g（x）+f （x）g（x）0F（x）在当x0时为增函数F（x）=f （x）g （x）=f （x）g （x）=F（x）故F（x）为（，0）（0，+）上的奇函数F（x）在（0，+）上亦为增函数已知g（3）=0，必有F（3）=F（3）=0构造如图的F（x）的图象，可知F（
16、x）0的解集为x（，3）（0，3）故选D点评：本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）12已知向量，且，则=考点：平面向量共线（平行）的坐标表示专题：计算题分析：利用向量的坐标运算求出的坐标，利用向量共线的充要条件列出关于的方程，解方程求出值即可解答：解：因为向量，所以，因为所以21=4（1）解得故答案为点评：本题考查的知识点是平面向量与共线向量，其中根据两个向量平行的充要条件，构造关于x的方程，是解答本题的关键13若某几何体的三视图如图，该几何体的体积为2，则俯视图中的x=
17、2考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥解答：解：该几何体为四棱锥，S=h=2则V=解得，x=2点评：考查了学生的空间想象力14数列an的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n1），则an的通项公式为an=3n1考点：数列的函数特性专题：等差数列与等比数列分析：当n2时，an+1=2Sn+1（n1），an=2Sn1+1，两式相减可得an+1=3an利用等比数列的通项公式即可得出解答：解：当n2时，an+1=2Sn+1（n1），an=2Sn1+1，an+1an=2an，an+1=3an当n=1时，a2=2a1+1=3数列an
18、为等比数列an=3n1故答案为：3n1点评：本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式，属于基础题15函数f（x）=mx2+（m3）x+1至少有一个零点为正数，则实数m的取值范围为（，1考点：根的存在性及根的个数判断专题：计算题；分类讨论分析：函数f（x）=mx2+（m3）x+1至少有一个零点为正数，转化为图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，有两种情况，一是只有一个在右侧，二是两个都在右侧，分类解答解答：解：若m=0，则f（x）=3x+1，显然满足要求若m0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则 m0；都在原点右侧，则 ，解得0m1综上可得m（，1故答案为：（，1点评：本题考查一元二次方程根
19、的分布与系数的关系，注意判别式与韦达定理的应用，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题三解答题（共6小题，共70分）16已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3（1）求a，b的值；（2）求函数y的极小值考点：利用导数研究函数的极值专题：计算题分析：（1）求出y，由x=1时，函数有极大值3，所以代入y和y=0中得到两个关于a、b的方程，求出a、b即可；（2）令y=0得到x的取值利用x的取值范围讨论导函数的正负决定函数的单调区间，得到函数的极小值即可解答：解：（1）y=3ax2+2bx，当x=1时，y|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3，即（2）y=6x3+9x2，y=18x2
20、+18x，令y=0，得x=0，或x=1当x1或x0时，y0函数为单调递减；当0x1时，y0，函数单调递增y极小值=y|x=0=0点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会用待定系数法球函数解析式的能力17设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，已知a1=1，且S1，S2，S4成等比数列；（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和考点：数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：（1）由等差数列的前n项和公式和等比数列的性质求出公差，由此能求出an=2n1（2）由，利用裂项求和法能求出数列的前n项和解答：解：（1）设数列an的公差为d，S1，S2，S
21、4成等比数列，解得d=2或d=0（舍）an=1+2（n1）=2n1（2），=点评：本题是数列的基础题目，主要考查了等差数列通项公式的求法以及裂项相消法求数列的和，是中档题18如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点求证：（1）直线EF面ACD；（2）平面EFC面BCD考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定专题：证明题分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EFAD，EF面ACD，AD面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直
22、的判定定理可知BD面EFC，而BD面BCD，满足定理所需条件解答：证明：（1）E，F分别是AB，BD的中点EF是ABD的中位线，EFAD，EF面ACD，AD面ACD，直线EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F是BD的中点，CFBD又EFCF=F，BD面EFC，BD面BCD，面EFC面BCD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力19已知f（x）=，其中向量=，=（cosx，1）（xR）（）求f （x）的周期和单调递减区间；（）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=1，a=，求边长
23、b和c的值（bc）考点：余弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性专题：计算题分析：（）利用两个向量的数量积公式，利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为，由此求出最小正周期和单调减区间（2）由f （A）=1求得，再根据2A+的范围求出2A+的值，从而求出A的值，再由 和余弦定理求得b和c的值解答：解：（）由题意知：f（x）=，f（x）的最小正周期 T=（4分）由 2k2x+2k+，kz，求得，kzf（x）的单调递减区间，kz（6分）（2）f （A）=1，（8分）又 2A+，2A+=，A=（9分） 即bc=6，由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=（b
24、+c）23bc，7=（b+c）218，b+c=5，（11分）又bc，b=3，c=2（12分）点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和周期性，余弦定理的应用，属于中档题20已知在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F分别是AD，PC的中点（）求证AD平面PBE；（）求证PA平面BEF；（）若PB=AD，求二面角FBEC的大小考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）证明AD平面PBE，只需证明BEAD，PEAD；（）证明PA平面B
25、EF，只需证明FGPA；（）取CD中点H，连接FH，GH，可知FGH为二面角FBEC的平面角，即可求二面角FBEC的大小解答：（）证明：由已知得EDBC，ED=BC，故BCDE是平行四边形，所以BECD，BE=CD，因为ADCD，所以BEAD，由PA=PD及E是AD的中点，得PEAD，又因为BEPE=E，所以AD平面PBE（）证明：连接AC交EB于G，再连接FG，由E是AD的中点及BECD，知G是BF的中点，又F是PC的中点，故FGPA，又因为FG平面BEF，PA平面BEF，所以PA平面BEF（）解：设PA=PD=AD=2BC=2CD=2a，则，又PB=AD=2a，EB=CD=a，故PB2=P
26、E2+BE2即PEBE，又因为BEAD，ADPE=E，所以BE平面PAD，得BEPA，故BEFG，取CD中点H，连接FH，GH，可知GHAD，因此GHBE，综上可知FGH为二面角FBEC的平面角可知，故FGH=60，所以二面角FBEC等于60点评：本题考查线面垂直、线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出面面角21已知g（x）=exx（）求g（x）的最小值；（）若存在x（0，+），使不等式x成立，求m的取值范围考点：其他不等式的解法；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用分析：（）利用导数判断知，当x=0时，g（x）在x=0时取得极小值，也是最小值
27、；（）依题意可得2xmx（exx），整理得mx（exx2），令h（x）=x（exx2）（x0），利用导数法可求得h（x）max，从而可得m的取值范围解答：解：（）g（x）=ex1，当x0时，g（x）0，g（x）=exx在区间（0，+）上单调递增；当x0时，g（x）0，g（x）=exx在区间（，0）上单调递减；当x=0时，g（x）在x=0时取得极小值，也是最小值，即g（x）min=g（0）=1（）g（x）1，x2xmx（exx），mx（exx2），令h（x）=x（exx2）（x0），则h（x）=（exx2）x（ex1）=（x+1）（2ex），当0xln2时，h（x）0；当xln2时，h（x）0；当x=ln2时，h（x）取得极大值，也是最大值，为h（ln2）=ln2（eln2ln22）=ln22mln22点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查导数的综合应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题
